【6】数学归纳法证明数列不等式一例
问题(2021浙江省高等数学竞赛)：设\(\displaystyle a_1=1\)，\(\displaystyle a_n=\sin a_{n-1}\left( n\geqslant 2 \right)\)，证明：\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).
过程如下：
当\(\displaystyle n=2\)时，
\[a_2=\sin a_1=\sin 1>\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
假设当\(\displaystyle n=k\left( k\geqslant 3 \right)\)，该不等式也成立，即\(\displaystyle a_k\geqslant \frac{1}{\sqrt{k}}\)
当\(\displaystyle n=k+1\)时，只需证明
\[a_{k+1}=\sin a_k\geqslant \sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}}
\]
对于这个不等式的证明，给出两种方法
方法1.借助Taylor展开放缩证明
根据\(\text{Taylor}\)展开，我们容易得到
\[\sin x\geqslant x-\frac{x^3}{6}\left( 0<x<1 \right)
\]
尝试证明
\[\sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{6\left( \sqrt{k} \right) ^3}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}}
\]
做变换：\(\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{k}}(0<u\leqslant \frac{1}{\sqrt{3}})\)
即证
\[u-\frac{1}{6}u^3\geqslant \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{u^2}}}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}
\]
两边平方后化简，有
\[\frac{1}{1+u^2}\geqslant \frac{1}{3}-\frac{1}{36}u^2
\]
而
\[\frac{1}{1+u^2}\geqslant \frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}>\frac{1}{3}>\frac{1}{3}-\frac{1}{36}u^2
\]
因此\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).
方法2.换元法证明
对于不等式
\[\sin \frac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \frac{1}{\sqrt{k+1}}
\]
做变换：\(\displaystyle u=\frac{1}{\sqrt{k}},u=\tan \theta\)，即证
\[\sin \left( \tan \theta \right) \geqslant \frac{\tan \theta}{\sec \theta}=\sin \theta
\]
由于
\[0<\tan \theta <1,\quad \tan \theta >\theta
\]
因此不等式成立，得\(\displaystyle a_n\geqslant \frac{1}{\sqrt{n}}\left( n\geqslant 2 \right)\).