对于具有整数值的 NxM 矩阵，找到区域 (x1,y1) (x2,y2) 的最小元素的最有效方法是什么，其中 0
我们可以假设我们将多次查询不同的区域。
我想知道我们是否可以将范围最小查询方法扩展到这个问题。 http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=lowestCommonAncestor
非常简单的解决方案可以使用 RMQ 最有效的解决方案 (Segment Tree)，然后逐行或逐列地应用它。
最坏情况下的复杂度为 min(N,M)*log(max(N,M))
但我仍然相信我们可以做得更好。
【问题讨论】：
标签： algorithm
这取决于您所说的“最有效的方式”是什么意思。可以最大限度地减少查询时间本身、预处理时间或内存需求。
如果只应该最小化查询时间，“最有效的方法”是预先计算所有可能的区域。然后通过返回一些预先计算的值来处理每个查询。查询时间为 O(1)。内存和预处理时间都很大：O((NM)2)。
更实用的是使用 OP 中提到的页面中的Sparse Table algorithm。该算法准备一个包含所有二次幂长度区间的表，并使用一对这些区间来处理任何范围最小查询。查询时间为 O(1)。内存和预处理时间为 O(N log N)。并且该算法可以很容易地扩展到二维情况。
只需准备一个包含所有 2 次幂长度和 2 次幂高度矩形的表格，并使用其中四个矩形来处理任何范围最小查询。结果是每个矩形至少有四个最小值。查询时间为 O(1)。内存和预处理时间为 O(NM*log(N)*log(M))。
这篇论文："Two-Dimensional Range Minimum Queries" by Amihood Amir, Johannes Fischer, and Moshe Lewenstein 建议如何将此算法的内存需求和预处理时间减少到几乎 O(MN)。
这篇论文："Data Structures for Range Minimum Queries in Multidimensional Arrays" by Hao Yuan and Mikhail J. Atallah 给出了不同的算法，查询时间为 O(1)，内存和预处理时间为 O(NM)。
【讨论】：
鉴于没有关于矩阵内容或存储方式的其他信息，除了扫描给定区域中的每个条目之外，不可能提出任何建议。那是 O((x2-x1) * (y2-y1))。您的问题太模糊，无法说明其他任何内容。
如果您对矩阵有其他了解，例如，如果您知道元素可能以某种方式排序，您可能会做得更好（在概率上，在平均情况下）。
【讨论】：
伪代码：
function getMax(M, x1, x2, y1, y2)
max = M[x1,y1]
for x = x1 to x2 do
for y = y1 to y2 do
if M[x,y] > max then max = M[x, y]
return max
这是输入大小中的O(n)，只能合理解释为矩阵区域(x2 - x1) * (y2 - y1)的大小。如果您想要最小值，请将 max 更改为 min 并将 > 更改为
【讨论】：