在整数线性规划中建模康威的人生游戏？

Question

我正在尝试使用整数线性规划对 Conway's game of life 规则进行建模，但我坚持使用其中的一条规则。

我认为有限 n x n 网格。网格中的每个单元格都与一个变量 X(i,j) 相关联，如果该单元格已死，则该变量的值为 0，如果该单元格还活着，则其值为 1。

我对静物特别感兴趣，即根据规则，从一瞬间到下一瞬间都不会改变的配置。

为了找到它们，我对每个单元格的邻居数量施加了限制。所以，一个活着的细胞要保持静止，它必须有2 或3 邻居，这很容易表达：

2(1-X(i,j)) + Σ(i,j) >= 2

-5(1 - X(i,j)) + Σ(i,j) <= 3

其中Σ(i, j) 是(i, j) 的邻居的总和（假设网格之外的值都是0s）。

如果X(i,j) == 0 则第一个加数保证约束条件得到满足。当X(i, j) == 1 约束保证我们有静物。

问题是另一条规则：一个死单元要保持死状态，它必须有任意数量的不同于3 的邻居。 但是，AFAIK 你不能在约束中使用!=。

我最接近的是：

X(i, j) + |Σ(i, j) - 3| > 0

这确实表达了我想要的，但问题是我不认为可以那样使用绝对值（只能表达单个变量的绝对值。或者有没有办法表达这种特殊情况?)。

我想知道，有没有标准的方式来表达!=？ 我在想也许我应该使用多个不等式而不是单个不等式（例如，对于每个可能的三重/四重邻居......），但我想不出任何明智的方法来实现这一点。

或者可能有某种方式滥用优化函数来惩罚这种情况，因此，获得一个最优值会产生一个正确的解决方案（或者说这是不可能的，具体取决于值）。

是否有人能够使用 线性 不等式和变量 X(i, j)（最终加上一些新变量）来表达该约束？

Answer 1

标准表达方式

是将其表示为

通过引入一个新的二进制变量来指示哪个不等式成立。

这在第 7.4 节 here 进行了解释。

简而言之，如果我们这样定义y

那么我们需要添加约束

在哪里

这是对其建模的标准方法，但在特定应用中可能有更好的方法。通常，总和的界限越紧，求解器的性能就越好。