正规语言的联合是正规的吗？

Question

如果语言 L1,...,Ln 是正则的，它们的并集也是正则的吗？

我们知道两种正则语言的并集就是正则语言。如何证明多种正则语言的并集也是正则的？

Answer 1

您可以使用归纳法。这是一个非常生锈的证明草图。

鉴于 -

两种正则语言的联合是正则的。

令 f(n) 为表示 n 种正则语言并集的函数。

问题 f(n) 是正则语言吗？

基本情况 -

如果 n = 1，则单个正则语言的并集是正则的。

如果 n = 2，那么根据给定的假设，我们知道 f(2) 是正则的。

归纳假设-

假设所有 n

归纳步骤 -

令 n = k+1。我们通过归纳假设知道 f(k) 是一种常规语言。所以 。 . .

f(n) = f(k+1) = Lk+1 U f(k)

其中 Lk+1 是第 k+1 个常规语言。由于 f(k) 和 Lk+1 是正则的，因此 f(n) = f(k+1) 在给定的假设下是正则的。

QED

有关归纳证明的更多信息

维基 - http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction

可汗学院 - https://www.khanacademy.org/math/precalculus/seq_induction/proof_by_induction/v/proof-by-induction