算法 - 动态规划 - 两个数组的子集和

Question

我的作业包括一个动态编程问题：

给定两个自然整数数组（a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn） 这样所有的都小于n^2，并且还给出了一个数字B 小于 n^3。

如果存在数组(c1,c2,...,cn)，你需要判断：

对于每个 1

*此算法必须使用动态规划编写。

*另外，我们需要改变什么来准确地得到数组 c 给我们 Sum(c) = B

看待问题的另一种方式是说 c 等于 a 的子集，而它的补子集来自 b。

这是我为解决这个问题而编写的递归伪代码：

W(a,b,i, N)
    if i==-1
        if N==0     return true;
        else        return false;
    return W(a,b,i-1,N-a[i]) || W(a,b,i-1,N-b[i]);

T(n) = 2^n

在这里，要返回最佳路径，只需将其存储在树中，然后从（好的）端遍历到开始

我怎样才能用动态编程来写这个？这甚至会帮助运行时间吗？因为递归解具有独立的结果。

*我在谷歌上搜索了这个问题，除了“子集和问题”之外什么也没找到。

Answer 1

感谢@PhamTrung，我有一个解决方案：

设一个矩阵[B,n]（最大尺寸[n^3,n]）

示例：（n=3，B=8）

    0   1       2       3       4       ... 8
0   T   F       F       F       F       ... F
1   F   (1,1)   (1,2)   (1,3)   (1,4)   ... (1,8)
2   F   F       (2,2)   (2,3)   (2,4)   ... (2,8)
3   F   F       F       (3,3)   (3,4)   ... (3,8)

伪代码：

//Generate the matrix
A = new Array(n+1,B+1)
for(i: 0 to n) //run over lines
    for(j: 0 to B) //run over B columns
        if i==0 //if we are in the first row
            A[i,j] = j==0; //if this is [0,0], it is true. else, false
        else if i>j //if we have more numbers than the sum
            A[i,j] = false; //it cannot happen
        else
            //general case:
            //if we remove a[i] or b[i], will we get to a true statement?
            A[i,j] = (j-a[i] >= 0 && A[i-1, j-a[i]]) || (j-b[i] >= 0 && A[i-1, j-b[i]]);

is_set(n,B,A)
    if(A[n,B])
        return true;
    return false;

公式：

[0,j],j!=0 = F
[0,0]   = T
i > j   = F
i <= j  = (i-1, j - a[i]) || (i-1, j - b[i])

获取路线：

为了得到构建C的路线，我们还要在每个真点0(=a)或1(=b)中保存，从下往上遍历。