生成前 k 个值

Question

我有一个问题，我想确定我是否做得最有效。我有一个大小为 N 的浮点值数组 A。这些值都在 0 和 1 之间。

我必须找到前 k 个值，它可以是 A 中最多三个数字的乘积。所以，前 k 个列表可以 有来自 A 的单个数字、两个数字的乘积或来自 A 的三个数字的乘积。

所以，这就是我现在的做法。我可以在 O(Nlogk) 时间内按降序获得前 k 个数字。然后我创建一个 max-heap 并用最大大小为 3 的最佳值初始化它，即如果我将 k 值的排序数组（降序）表示为 B 以及该数组中的索引数字，我插入索引为 (0)、(0,1) 和 (0,1,2) 的数字。接下来，我在堆上执行提取和 每当我提取大小 z（z 数字的乘积）值时，我将其替换为下一个可能大小 z 数字的集合，即 如果假设（2,4）被提取，我可以用（3,4）和（2,5）替换它。并提取k次得到结果。

如果有的话，需要更好的想法。 谢谢大家。

Answer 1

如果我理解正确，您需要找到 k 个最大数字，这些数字可以通过将列表中的 1、2 或 3 个元素相乘得到，并且所有值都是 0 到 1 之间的浮点数。

很明显，您只需要考虑列表中的 k 个最高数字。其余的可以直接丢弃。您可以使用 O(n log k) 算法来获取它们，再次按排序顺序（我假设您的列表没有预先排序）。为了简化问题，您现在可以取它们的对数并尝试最大化数字的总和，而不是最大化乘积的原始问题。这可能会加快一点。

现在（考虑到对数表示），你所有的数字都是负数，所以把它们加在一起只会产生越来越多的负数。

让我们将 k 个最高的数字称为 A1...Ak。我们现在可以进一步减少问题，假设还存在数字 A0，它在对数表示中的值为 0，在原始表示中为 1；那么问题是用 x ≥ 的约束枚举前 k 个 3 元组（{A0,...,Ak} 中的 x,y,z）。 y ≥ z 且 z

我们使用原始公式中的最大堆；我们将三元组推入堆中，使用它们的总和 (S[...]) 作为排序键。该算法首先将 [0,0,0] 推入堆。那么：

answer = []
for m in 0 .. k:
  top = heap.pop()
  answer.append(sum(top))
  (i,j,n) = top # explode the tuple
  if (n < k - 1):
      heap.push((i,j,n+1))
  if (j == n):
      heap.push((i,j+1,j+1))
      if (i == j):
          heap.push((i+1,i+1,i+1))

最后，答案包含k + 1个元素，其中第一个是[0,0,0]，必须丢弃。

让给定为 -1、-3、-8、-9。然后算法是这样进行的：

Heap
Top          Rest (shown in order)

[ 0, 0, 0] | 
[ 0, 0,-1] | [ 0,-1,-1] [-1,-1,-1]
[ 0,-1,-1] | [-1,-1,-1] [ 0,-1,-3] [ 0,-3,-3]
[-1,-1,-1] | [-1,-1,-2] [ 0,-1,-3] [-1,-2,-2] [-2,-2,-2] [ 0,-3,-3]
[-1,-1,-2] | [ 0,-1,-3] [-1,-1,-3] [-1,-2,-2] [-2,-2,-2] [ 0,-3,-3]
[ 0,-1,-3] | [-1,-1,-3] [ 0,-1,-4] [-1,-2,-2] [-2,-2,-2] [ 0,-3,-3]
[-1,-1,-3] | [ 0,-1,-4] [-1,-1,-4] [-1,-2,-2] [-2,-2,-2] [ 0,-3,-3]
[ 0,-1,-4] | [-1,-2,-2] [-1,-1,-4] [ 0,-1,-5] [-2,-2,-2] [ 0,-3,-3]
...
etc.

这个算法的好处是它不枚举重复，堆大小为 O(k)；要了解原因，请观察该算法在每次迭代时添加堆上的最大元素（通常更少），因此在 k 次迭代之后，堆中的元素不能超过 2k。

这给出了运行时间 O(n log k + k log k) = O((n + k) log k)。

Answer 2

我当然看到了您可以进行的优化。

Let M be the highest number from A.
Let M2 be M * M.
Let setMM2 consist of all x from A such that M2 < x < M
If size(setMM2) >= k, 
    then your top-k consist of the highest k elements.
Else
    all x in setMM2 are in your top-k and your search becomes smaller

您可以使用 max(secondHighestNumber^2,M^3) 重复此方法并推广算法。

Answer 3

kN因为数字是从 0 到 1，你使用的数字越多，它就越糟糕，问题就是大 k，例如 k=N^2

首先尝试单个数字，然后在堆中推送。 O(N*Log(k))

比使用堆中的这个数字并用 2 个数字创建另一个堆 B => O(k*log(k)) 最坏的情况是，但如果你对数字进行排序以防 k>N

然后你有 2 个数字和产品，然后尝试从堆 B 中创建第三个堆 C，就像你为 B 做的那样，但是从更大的堆。

我认为这将使 O(k*log(k))