如何证明二叉树的完整节点=叶-1？

Question

如果没有适当的数学证明，我应该如何证明完整节点的数量（一个由两个子节点（左和右）组成的节点）是相同数量的叶子 - 1？一个提示应该是使用“结构归纳”的证明，不幸的是我不明白这是什么意思，有人可以在这里帮助我吗？

Answer 1

在数学上，归纳证明是一种证明陈述 S 对于自然数 n 的所有值都为真的方法。这个想法是要证明 1) S(1) 为真，2) 如果 S(n) 为真，则 S(n+1) 也为真，因此 3) S(N) 对所有 n 都为真。

在您的情况下，您想证明所有二叉树都具有特定属性。诀窍是表明任何二叉树（除了可能的最小的树）都可以转换为较小的二叉树，这样如果较小的树具有该属性，则较大的树也具有该属性。那么如果你能证明最小可能的二叉树有这个性质，那么所有的二叉树也一样。

那么如果你要给一个大的二叉树，最简单的方法是什么让它更小？

编辑：我建议你拿铅笔和纸，试着画一棵没有那个属性的树。从一个节点开始，根节点，并一次添加一个节点，跟踪完整节点的数量和叶子的数量。一旦你确信你永远无法画出这样一棵树，再读一遍这个答案，看看它是否有意义。