没有乘法运算符的乘法数字的更好解决方案

Question

我为“破解编码面试”中的以下问题提出了这个解决方案，我认为它比我在他们的解决方案中看到的更快、更优雅，但不确定它是否适用于所有情况。谁能告诉我是否遗漏了一些边缘案例？

CTCI 的原始问题是（关于递归和动态规划的问题 8.5）：

编写一个递归函数以在不使用 * 运算符的情况下将两个正整数相乘。您可以使用加法、减法和位移，但应尽量减少这些操作的数量。

我的解决办法是：

def foo(a, b, mult = 0):
    if a == 0 or b == 0:
        return 0

    if (a & 1) == 1:
        return (b << mult) + foo(a >> 1, b, mult + 1)

    return foo(a >> 1, b, mult + 1)

谁能告诉我是否遗漏了什么？

Answer 1

您可以使用位移来执行以 2 为底的乘法：

def multiply(A,B):
    result = 0
    while A:
        if A&1: result = result + B # Add shifted B if last bit of A is 1
        A >>= 1 # next bit of A
        B <<= 1 # shift B to next bit position
    return result

print(multiply(7,13)) # 91

如果不允许使用& 运算符if (A>>1)<<1 != A: 将执行与if A&1: 相同的操作（即测试最后一位）。

如果您查看乘法的位组合，您可以看到位移的作用：

#  bitPosition   A=13 (1101)   B=7 (111)  A*B=91 (1011011)
#
#       0        1                  111         111     7
#       1        0                 1110          
#       2        1                11100       11100    28
#       3        1               111000      111000    56
#                                            ------    --
#                                           1011011    91

由此，编写递归版本相对容易：

def multiply(A,B):
    if A == 0: return 0
    result = multiply(A>>1,B)<<1  # get the higher bit product
    if A&1: result = result + B   # add the last bit multiplier (B)
    return result

Answer 2

位移位可用于乘以 2 的倍数。它有助于以二进制形式写下您的乘法，以了解其有何帮助。

考虑5 * 7，二进制是101 * 111。应用分布，你得到：

101 * 111 = 111 * (100 + 001)
          = 111 * 100 + 111 * 001
          = 7 * 4 + 7 * 1
          = 7 * 2² + 7*2⁰

一般来说，给定一个乘法X * Y，您可以将X 划分为n 2 的幂的和，并将乘法写为2^k * Y 形式的各项之和。您系列中出现的术语对应于您在X 的二进制表示中具有1 的那些索引。

因此，递归算法是从右到左查看您的一个操作数的二进制数字，并将您看到 1 的项相加。

def mult(a, b):
    if a & 1:
        return b + mult(a >> 1, b << 1)
    if a:
        return mult(a >> 1, b << 1)
    else:
        return 0

print(mult(9, 7))  # 63

您的算法非常接近，但请注意您不需要保留 mult 参数。相反，您只需在每次查看下一个数字时将右操作数移动 1。

另请注意，如果a < 0，这不会终止，但这很容易通过进行正乘法并在a 为负数时加回符号来解决。

Answer 3

使用乘法的基础，即 5 x 3 是“5 加 3 次”（5 + 5 + 5）或“3 加 5 次”（3 + 3 + 3 + 3 + 3）。

这个解有1个加法和1个减法：

def multiply(a, b):
    if b == 1:
        return a
    return a + multiply(a, b-1)  # addition and subtraction

multiply(5, 3)
# 15
multiply(7, 4)
# 28
multiply(2000, 1000)
# 2000000

您可以通过将 b 指定为两个数字中较小的一个来减少递归发生的次数 - 将其放在函数的开头：

a, b = max(a, b), min(a, b)
# or
a, b = (a, b) if a >= b else (b, a)

将这些结合起来并制作一个几乎是一条线：

def multiply(a, b):
    a, b = (a, b) if a >= b else (b, a)
    return a if b == 1 else a + multiply(a, b-1)

multiply(2, 1_000_000)
# 2000000