理解`mapA`以获得直觉答案

【问题标题】：Understanding `mapA` to Gain Intuition理解`mapA`以获得直觉
【发布时间】：2015-01-02 02:29:21
【问题描述】：

我正在 Brent Yorgey 的 2013 年 UPenn lecture 中进行练习以实施 mapA。

mapA :: Applicative f => (a -> f b) -> ([a] -> f [b])

我正在尝试获得对这个函数的直觉。这个功能有什么用？我不是在质疑它的实用性——只是想理解它。

此外，我正在寻找从 a -> f b 到 [a] -> f [b] 的提示。

【问题讨论】：

您同意mapM 有用吗？我认为很明显，“对集合的每个元素执行此操作”是一个无处不在的概念。这就是mapM/A。 mapA 是 mapM 用于应用程序。由于并非每个 Applicative 都是 Monad，因此您有时可能需要一个“形状”为 mapM 的函数，它只需要 Applicative 约束。因此，mapA.
mapA f = dist . map f，其中dist 来自您的question。
你也可以在Data.Traversable的列表实例中找到这个函数的实现
The essence of the iterator pattern 描述成语的几种用途，使用更通用的traverse 函数。

标签： haskell

【解决方案1】：

如果我们对f 一无所知，那么像a -> f b 这样的函数会让我们将东西放入f-boxes，但我们会完全陷入困境。您可能熟悉Functor。如果我们知道f 是Functor，那么我们就可以转换f 内部的东西，但我们仍然基本上被卡住了---f 形成了一堵我们无法跨越的不动墙。

我们为什么要关心？好吧，当我们尝试构造函数[a] -> f [b] 时，我们需要了解如何对as 的集合进行操作。如果我们喜欢（并且它存在），也许我们可以直接关闭第一个并通过a -> f b 提供它，然后将结果包装在一个列表中：

unsatisfying :: Functor f => (a -> f b) -> ([a] -> f [b])
unsatisfying inject (a : _) = fmap (\x -> [x]) (inject a)

但我们不仅在[a] 上有一个不完整的模式匹配，而且我们显然违反了这个函数的精神——我们更愿意使用所有as。不幸的是，只知道f 甚至知道f 是Functor 只能让我们了解

stillUnsatisfying :: Functor f => (a -> f b) -> ([a] -> [f b])
stillUnsatisfying inject as = map inject as

问题在于，仅仅因为我们拥有f-containers 的集合并不意味着我们可以找到任何方法来集体对待它们。我们想以某种方式将我们的集合[f b]“粘合”在一起。如果我们能做到这一点，那么像[a] -> f [b] 这样的函数听起来就像“将我们的列表[a] 分解成碎片，使用inject 将它们单独传递到f，然后将所有(f b)s 聚集在一起，然后重新组装里面的列表”。

显然，我们需要一种将Functors 组合在一起的方法，以及一种对f 的“内部”独立部分进行操作的方法。

这就是Applicative 的用武之地。不过，我不会准确介绍它。相反，让我们看一个等效的类型类

class Functor f => Monoidal f where
  basic :: a -> f a
  glom  :: f a -> f b -> f (a, b)

证明Monoidal 和Applicative 是等价的，这是一个有趣的练习，但是您马上可以看到glom 提供了我们正在寻找的东西。此外，basic/pure 使我们能够根据需要将列表的原始片段注入到 f 中（例如，如果我们的 [a] 为空，那么我们需要将一个空列表注入到f 不使用 a -> f b，因为我们不能——这看起来像 basic [] :: f [b])。

所以Applicative 让您不仅可以在函子内部进行转换，还可以将一堆函子聚集在一起，并对函子内部的所有部分进行操作。

【讨论】：

"但是你可以立即看到 glom 提供了我们正在寻找的东西"。我不能。
通常我们会使用(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b，但我们可以使用glom 作为f <*> a = fmap ($) (glom f a)。试试看！
但是为什么 Monoidal 和 Applicative 的等价性与原始问题（即如何实现 mapA）有关？
因为Monoidal 更清楚地表明Applicative 的核心是使用标准产品将函子粉碎在一起的能力。这被Applicative 公式所掩盖。

【解决方案2】：

您已经完成了一半，但您要寻找的最后一个函数是 LYAH 中定义的 sequenceA 函数。这是我的实现：

sequenceA :: Applicative f => [f a] -> f [a]
sequenceA = foldr ((<*>) . fmap (:)) (pure [])

从那里mapA 函数很简单。只需添加另一个参数并组合两个函数：

mapA :: Applicative f => (a -> f b) -> [a] -> f [b]
mapA f xs = foldr ((<*>) . fmap (:) . f) (pure []) xs
-- Or, you could implement it this more elegant, albeit slightly slower, way:
mapA = (sequenceA .) . map

你有一个实现供你查看。至于实用性，它在 IO 中特别有用，当你有一个像 ["Foo","Bar","Baz"] 这样的列表，并且你想 putStrLn 所有这些功能时。这样做，您将需要映射每个值和sequence 它，mapA 就是这样做的。请注意，这些函数具有 monadic 等价物，但以纯粹的 Applicative 方式实现它们是一个很好的练习。

在处理Applicatives 列表时，这些函数都非常有用，允许人们更轻松地操作其中的值，而无需使用半吨 fmaps。

【讨论】：

【解决方案3】：

我们已经知道map :: (a -> b) -> ([a] -> [b]) 很有用。它将一个函数应用于列表的每个元素。

对于应用程序f 的a -> f b 的松散但有启发性的解释是，它是一个接受a、执行应用程序“动作”并返回b 的函数。例如，如果f 是IO，那么“动作”可能是从磁盘读取。 mapA :: (a -> f b) -> ([a] -> f [b]) 可以解释为将此“函数”应用于列表的每个元素。

【讨论】：