使用最少击键次数的 N 个笑脸答案

【问题标题】：N number of smileys using minimum keystrokes使用最少击键次数的 N 个笑脸
【发布时间】：2015-08-30 02:27:35
【问题描述】：

这是一个面试问题，我自己无法解决。谁能给她点灯？

问题：假设您有聊天客户端，在文本框中您有一个笑脸（它已经存在）。现在你想要那个笑脸 N 次，并且只允许复制和粘贴两个操作。结果必须是 N 个笑脸，不多不少。复制基本上是^a + ^c。您总是必须在给定时间复制文本框中的所有笑脸。复制是一键，粘贴是一键。为这个问题写一个算法/程序。复杂度会是多少？

【问题讨论】：

类似于Maximum number of characters using keystrokes A, Ctrl+A, Ctrl+C and Ctrl+V。也许你可以应用那里的一些逻辑来在这里做出努力。
更正式地说，是否准确地说我们以result = ":)"; clipboard = ""; 开头，复制为clipboard = result;，粘贴为result += clipboard;？
@KenWhite 这些问题表面上很相似，但解决技术与在相似状态空间上的动态规划没有太多共同点。
@David：是的，我知道它们只是相似的，这就是为什么我没有投票关闭作为重复。解决它们的思维过程是相似的（虽然不一样，很明显）IMO。（这绝对是一个更好的起点，而不是在这里发布问题并等待其他人为您解答。）
@DavidEisenstat：是的。

标签： algorithm

【解决方案1】：

无论笑脸 N 的数量是多少，将 N 分解为素数的乘积。然后对于分解中的每个素数 p，您需要进行一次复制和 p-1 粘贴。如果“复制”意味着您必须复制整个笑脸字符串，则这是可能的最少操作数。操作的总数是N的因式分解中所有素因子的总和。

【讨论】：

【解决方案2】：

user2566092's answer是正确的，但是声明

这是可能的最少操作数

声称没有证据。这是一个正式的理由。

设 n 为目标笑脸数。配置 (r, k) 由结果中的笑脸数量 r 和剪贴板上的笑脸数量 k 组成。初始配置为 (1, 0)。从 (r, k) 开始，一键即可访问配置 (r, r) [copy] 和 (r + k, k) [paste]。

下面的引理意味着，在复制之后，结果中的笑脸数量除以 n。

引理假设 g 除以 r 和 k（g|r 和 g|k）。从 (r, k) 可达的每个配置 (r', k') 都满足 g|r' 和 g|k'。

证明归纳法。如果下一步是复制，到 (r, r)，然后 g|r 和 g|r。如果下一步是粘贴，到(r + k, k)，然后g|r + k和g|k。

现在我们可以证明主要主张了。

定理从 (1, 0) 到某个 (n, k)（其中 k 是任意的）的最小步数是 p1 + p2 + ... + pm，其中 n = p1 p2 。 .. pm 是质因数分解。

证明 user2566092 覆盖了上限：对于从 1 到 m 的 i，复制一次并粘贴 pi - 1 次。当 n = 1 时，下限很明显。否则，最好的第一个动作显然是复制到 (1, 1)。我们通过归纳证明从 (1, 1) 到 (n, k) 的最小步数是 p1 + p2 + ... + pm - 1。

根据引理，从 (1, 1) 开始，我们所能做的就是粘贴直到 r 除以 n。修复特定的 r|n。从 (r, r) 到 (n, n) 以及从 (1, 1) 到 (n/r, n/r) 的最佳动作序列显然是相同的。通过置换素数不失一般性，假设 r = p1 p2 ... pj。由于 a b >= a + b 对于 a，b >= 2，我们有 r >= p1 + p2 + ... + pj。如果 r = p1 + p2 + ... + pj - 1。如果r = n，则总成本为 n - 1 >= p1 + p2 + ... + pm - 1。

【讨论】：

你是对的，我应该给出一个证明，因为正如你的论述所示，证明有点冗长。 +1 完全覆盖它。 =)

【解决方案3】：

2 * 2log(N)。每次都复制所有内容，直到您不再需要完整的集合。然后你可以只复制列表的一部分。

例如7 个笑脸：

1 复制所有内容

2 复制所有内容

4 只复制 3

有 7 个。

【讨论】：

这不是在最少的操作中建立最多数量的笑脸的最佳方式。考虑是否有 6 个操作。您的方法将加倍 3 次，给出 8 个笑脸并使用 6 个操作。但是，如果您复制-粘贴-粘贴，然后再次复制-粘贴-粘贴，您仍然使用 6 次操作，但您会得到 9 个笑脸。
复杂度是一个上限:)

【解决方案4】：

针对上述问题的程序如下。在最坏的情况下，该解决方案的时间复杂度为 O(n)。最坏的情况发生在给定数是素数时。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int smiles;
    cin>>smiles;
    int ans=0; 
    for(int i=2;i<=smiles;i++)
    { 
        while(smiles%i==0)
        { 
            ans+=i; 
            smiles/=i; 
        } 
    } 
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}

【讨论】：