通过计算雅可比行列有效地使用 PyTorch 的 autograd 和张量

Question

在我之前的question 中，我发现了如何将 PyTorch 的 autograd 与张量一起使用：

import torch
from torch.autograd import grad
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class net_x(nn.Module): 
        def __init__(self):
            super(net_x, self).__init__()
            self.fc1=nn.Linear(1, 20) 
            self.fc2=nn.Linear(20, 20)
            self.out=nn.Linear(20, 4) #a,b,c,d

        def forward(self, x):
            x=torch.tanh(self.fc1(x))
            x=torch.tanh(self.fc2(x))
            x=self.out(x)
            return x

nx = net_x()

#input
t = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.2], requires_grad = True) #input vector
t = torch.reshape(t, (3,1)) #reshape for batch

#method 
dx = torch.autograd.functional.jacobian(lambda t_: nx(t_), t)
dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 0, -1), 0)[0] #first vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 1, -1), 0)[0] #2nd vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 2, -1), 0)[0] #3rd vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 3, -1), 0)[0] #4th vector
dx 
>>> 
tensor([-0.0142, -0.0517, -0.0634])

问题在于grad 只知道如何从标量张量（我的网络输出不是）传播梯度，这就是我必须计算雅可比行列式的原因。

但是，这不是很有效而且有点慢，因为我的矩阵很大并且计算整个雅可比矩阵需要一段时间（而且我也没有使用整个雅可比矩阵）。

有没有办法只计算雅可比的对角线（在这个例子中得到 4 个向量）？

似乎有一个open feature request，但似乎没有引起太多关注。

更新 1：
我尝试了@iacob 所说的设置torch.autograd.functional.jacobian(vectorize=True)。
但是，这似乎更慢。为了测试这一点，我将网络输出从 4 更改为 400，并将我的输入 t 更改为：

val = 100
t = torch.rand(val, requires_grad = True) #input vector
t = torch.reshape(t, (val,1)) #reshape for batch

没有vectorized = True：

Wall time: 10.4 s

与：

Wall time: 14.6 s

Answer 1

好的，结果优先：

性能（我的笔记本电脑有 RTX-2070，PyTorch 正在使用它）：

# Method 1: Use the jacobian function
CPU times: user 34.6 s, sys: 165 ms, total: 34.7 s
Wall time: 5.8 s

# Method 2: Sample with appropriate vectors
CPU times: user 1.11 ms, sys: 0 ns, total: 1.11 ms
Wall time: 191 µs

大约快 30000 倍。

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为什么你应该使用backward 而不是jacobian（在你的情况下）

我不是 PyTorch 的专家。但是，根据我的经验，如果您不需要其中的所有元素，那么计算 jacobi-matrix 是非常低效的。

如果你只需要对角元素，你可以使用backward函数来计算vector-jacobian乘法与一些特定的向量。如果您正确设置向量，您可以从 Jacobi 矩阵中采样/提取特定元素。

一点线性代数：

j = np.array([[1,2],[3,4]]) # 2x2 jacobi you want 
sv = np.array([[1],[0]])     # 2x1 sampling vector

first_diagonal_element = sv.T.dot(j).dot(sv)  # it's j[0, 0]

对于这个简单的案例来说，它并没有那么强大。但是如果 PyTorch 需要计算所有的雅可比矩阵（j 可能是一长串矩阵-矩阵乘法的结果），那就太慢了。相反，如果我们计算一个向量-雅可比乘法序列，计算速度会非常快。

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解决方案

来自 jacobian 的示例元素：

import torch
from torch.autograd import grad
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim

class net_x(nn.Module): 
        def __init__(self):
            super(net_x, self).__init__()
            self.fc1=nn.Linear(1, 20) 
            self.fc2=nn.Linear(20, 20)
            self.out=nn.Linear(20, 400) #a,b,c,d

        def forward(self, x):
            x=torch.tanh(self.fc1(x))
            x=torch.tanh(self.fc2(x))
            x=self.out(x)
            return x

nx = net_x()

#input

val = 100
a = torch.rand(val, requires_grad = True) #input vector
t = torch.reshape(a, (val,1)) #reshape for batch


#method 
%time dx = torch.autograd.functional.jacobian(lambda t_: nx(t_), t)
dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 0, -1), 0)[0] #first vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 1, -1), 0)[0] #2nd vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 2, -1), 0)[0] #3rd vector
#dx = torch.diagonal(torch.diagonal(dx, 3, -1), 0)[0] #4th vector
print(dx)


out = nx(t)
m = torch.zeros((val,400))
m[:, 0] = 1
%time out.backward(m)
print(a.grad)

a.grad 应该等于第一个张量dx。而且，m 是与代码中所谓的“第一个向量”相对应的采样向量。

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1. 但如果我再次运行它，答案将会改变。

是的，你已经明白了。每次调用backward 时，梯度都会累积。因此，如果您必须多次运行该单元格，则必须先将 a.grad 设置为零。

1. 您能解释一下m 方法背后的想法吗？两者都使用torch.zeros 并将列设置为1。另外，为什么毕业生在a而不是t？

• m方法背后的思想是：函数backward计算的其实是vector-jacobian乘法，其中vector代表所谓的“上游梯度”，Jacobi-matrix就是“局部梯度” "（这个 jacobian 也是您使用 jacobian 函数获得的那个，因为您的 lambda 可以被视为单个“本地”操作）。如果您需要来自 jacobian 的一些元素，您可以伪造（或更准确地说，构造）一些“上游梯度”，您可以使用它从 jacobian 中提取特定条目。但是，如果涉及复杂的张量运算，有时可能很难找到这些上游梯度（至少对我而言）。
• PyTorch 在计算图的叶节点上累积梯度。而且，您的原始代码行t = torch.reshape(t, (3,1)) 失去了叶节点的句柄，t 现在指的是中间节点而不是叶节点。为了访问叶节点，我创建了张量 a。

Answer 2

你试过设置torch.autograd.functional.jacobian(vectorize=True)吗？

vectorize（bool，可选） - 此功能是实验性的，请自行承担使用风险。在计算雅可比时，通常我们在雅可比的每一行调用一次autograd.grad。如果这个标志是True，我们使用vmap原型特性作为后端来向量化对autograd.grad的调用，所以我们只调用它一次而不是每行一次。这应该会在许多用例中带来性能改进，但是，由于此功能不完整，可能会出现性能悬崖。请使用 torch._C._debug_only_display_vmap_fallback_warnings(True) 显示任何性能警告，如果您的用例存在警告，请向我们提交问题。默认为False。