如何使用最小二乘和正则化对图像进行去噪？

Question

f = u+n：f 是噪声图像，u 是期望的重建，n 是噪声。

重构误差为||u-f||_2^2 + lambda * ||gradient(u)||_2^2

求解 ||Ax-b||_2^2 其中 x 是从 f 以列方式向量化的向量。

以上是我的问题，我不明白“解决||Ax-b||_2^2”是什么意思。 什么是'A'？什么是'b'？怎样才能得到'重建'？

我知道使用伪逆求最小二乘法的简单方法。 但是我只是调整了在||Aθ-b||^2中查找θ的方式。

我不知道我必须做什么。所以我做了我能做的。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import signal 
from skimage import io, color
from skimage import exposure

file_image  = 'image.jpg'

im_color    = io.imread(file_image)
im_gray     = color.rgb2gray(im_color)
im          = (im_gray - np.mean(im_gray)) / np.std(im_gray)
(row, col)  = im.shape

noise_std   = 0.2 # try with varying noise standard deviation
noise       = np.random.normal(0, noise_std, (row, col))
im_noise    = im + noise

我制作了一张嘈杂的图像。我不知道下一步。

有谁能解释一下吗？

Answer 1

这看起来很像一个措辞不佳的家庭作业问题。我在数学图像处理和逆问题方面有相当的背景，所以我为你重写了它，这是唯一有意义的方式。

令f为由关系f = u+n描述的噪声图像， 其中 u 是无噪声图像，n 是噪声。目标是 从 n 中恢复 u。为此，我们引入以下函数

||u - f||²,

等于所有像素之间的平方和差 u 和 f，衡量 u 和 f 之间的相似度。此外，我们引入以下功能来测量数量 图像中的噪声

||杜||²,

其中Du(x, y)表示u在 位置 (x, y)，作为图像中噪声的度量。经过 ||Du||²，因此我们的意思是所有像素中梯度的平方和。

一种衡量我们重建无噪声图像的效果的方法可以用以下函数表示

||u - f||² + ||Du||²

解决上面的正则化最小二乘问题。