R 中的奇异值分解 - 来自 svd() 的奇异值数量有限答案

【问题标题】：Singular value decomposition in R - limited number of singular values from svd()R 中的奇异值分解 - 来自 svd() 的奇异值数量有限
【发布时间】：2017-03-15 19:07:41
【问题描述】：

在 R 的 svd() 函数文档中，底部有一个示例。

hilbert <- function(n) { i <- 1:n; 1 / outer(i - 1, i, "+") }
X <- hilbert(9)[, 1:6]

我想设置的不是默认输入值

nu = 行数
nv = 列数

所以我跑了

s = svd(X, nu = dim(X)[1], nv = dim(X)[2])

这里是“s”中矩阵的维度。

> str(s)
List of 3
 $ d: num [1:6] 1.67 2.77e-01 2.22e-02 1.08e-03 3.24e-05 ...
 $ u: num [1:9, 1:9] -0.724 -0.428 -0.312 -0.248 -0.206 ...
 $ v: num [1:6, 1:6] -0.736 -0.443 -0.327 -0.263 -0.22 ...

我希望 d 的长度为 9，但它的长度却是 6。为什么？

【问题讨论】：

因为svd 只返回非零奇异值。如果您的矩阵最多为 n×m，则它可以具有 min(n,m) 个非零奇异值。
感谢欧内斯特 A，您的明确回答！您应该将您的评论作为答案，并获得您应得的荣誉。

标签： r svd

【解决方案1】：

SVD 有两个版本。矩阵的简单 SVD 包括找到一些矩阵 U、D、V，使得 X = UDV'，其中D是对角线，U、V是正交的。 U 的列是 X 的列空间的正交基，而 V 的列是行空间的正交基X。如果 X 是 n × m 秩为 r，从线性代数我们知道 r em> 是线性独立的列数，与线性独立的行数相同。因此 U 必须是 n x r 和 V m x r 。因此 D 是对角线 r x r。

在另一个版本的SVD中，U和V是用左零空间和X的零空间的正交基完成的> 分别。在这种情况下，U 和 V 是方阵，n x n 和 m x m，而 D 是 n x m 因此不再是对角线。非对角 D 矩阵中的额外条目为零。因为额外的奇异值没有什么意义（因为它们都为零），所以函数svd 不会返回这些值。

【讨论】：