通过偏导数计算切线和双切线向量

Question

我正在尝试实现一个简单的水模拟，理论来自GPU Gems 1 chapter 1。

如果你想象一个 3D 平面（平面在 xz 平面上，y 表示任意点的高度），高度场函数为：

在哪里： 波长 (w)：世界空间中波之间的波峰到波峰的距离。

振幅（A）：从水面到波峰的高度。

速度 (S)：波峰每秒向前移动的距离。

方向 (D)：垂直于波前的水平矢量 波峰旅行。

这很容易实现。

请注意 GPUGems 中的文章使用 z 方向作为高度，但这不是图形的标准（通常，x 是宽度，y 是高度，z 是深度）。所以我会参考 xz 方向，意思是平面/水平平面方向。

因此，在计算了任何给定点的高度 (y) 值后，我需要计算该点的双切线和切线向量，以便可以计算照明方程所需的法线向量。

双切线和切线向量是 x 和 z 方向的偏导数（y 是高度场值）。

所以我的问题是，我怎样才能在 x 和 z 方向上对高度场函数进行偏导数？

文章说x方向的偏导数由下式给出

我了解对from this video: 进行偏导的概念，但我不知道如何对我的高度场函数进行偏导。

谁能解释一下（比如我 5 岁）- 我对数学的掌握不是很好！

Answer 1

您想推导出以下等式：

W(x) = A * sin(w * (D.x * x + D.y * z) + t * phi)
     = A * sin(w * D.x * x + w * D.y * z + t * phi)

这是上面的扩展点积公式。因为我们想求关于 x 的导数，所以所有其他变量（x 除外）都被认为是常数。所以我们可以替换常量：

c1 = A
c2 = w * D.x
c3 = w * D.y * z + t * phi
W(x) = c1 * sin(c2 * x + c3)

导数是：

W'(x) = c1 * c2 * cos(c2 * x + c3)

还原我们得到的替换：

W'(x) = A * w * D.x * cos(w * D.x * x + w * D.y * z + t * phi)

它描述了给定位置的切线的 y 分量。

类似地，双切线（关于 z 的导数）可以描述为

W'(z) = A * w * D.y * cos(w * D.y * z + w * D.x * x + t * phi)

因此：

tangent   = (1, W'(x), 0)
          = (1, A * w * D.x * cos(w * D.x * x + w * D.y * z + t * phi), 0)
bitangent = (0, W'(z), 1)
          = (0, A * w * D.y * cos(w * D.y * z + w * D.x * x + t * phi), 1)