具有度量条件的平面聚类

Question

对于我的集合中的对象的给定指标，我需要形成具有两个条件的集群：

• 群集中的任何对象与他最远的邻居之间的距离必须小于 t1。
• 集群中的任何对象与他最近的邻居之间的距离必须小于 t2。

目前我正在使用具有覆盖度量函数（0 表示远对象）的凝聚聚类，但感觉不太正确。

Answer 1

方法 1：SAT 求解

对于 n 个对象，所有可能的聚类都可以用对称二进制矩阵 {0, 1}^{n \times n} 来描述。位置 (i, j) 处的元素描述了对象 i 是否与对象 j 在同一个聚类中。这意味着您将拥有

(n^2 + n)/2 - n = n^2 - n

二进制变量。在您的情况下，它将是 224 985 000 个变量。那是很多。但是，由于您可以将其简化为 SAT 解决问题，因此它可能仍然可行。我猜这取决于有多少聚类满足约束但仍然很糟糕。

现在你可以把它变成一个布尔可满足性问题：

集群中任何对象与他最远的邻居之间的距离必须小于 t1。

矩阵的某些元素被此约束设置为 0，因为它们相距太远。

集群中的任何对象与他最近的邻居之间的距离必须小于 t2。

我猜你的意思是集群中最近的邻居。这意味着要么 o 不在集群中（例如，如果 o 具有索引 i，则 (i, j) = 0 对所有 j）或 j 的可预计算集合中的一个必须为 1。因此对于每个具有索引的对象我在这里遇到了限制，比如

((i, 0) = 0 and (i, 1) = 0 and ... and (i,i)=1 and ... and (i,n)=0)
or
((i, k1)=1 or (i, k2)=1 or (i, k3)=1)

其中 dist(i, k_j)

现在您可以尝试简单地遍历许多解决方案并找到最佳解决方案（例如silhouette coefficient），也可以尝试更复杂的方法。有关更多信息，请参阅constrained optimization。

方法 2：DBSCAN

您可以在 epsilon = t2 的情况下使用 DBSCAN（或该系列的算法之一）。然后 - 如果有必要 - 如果集群不满足第一个条件，则拆分集群。