bnlearn 如何计算连续数据的 BIC？

Question

我在R 中使用bnlearn 包，我想知道该包如何计算BIC-g（高斯分布中的BIC）。

我们做一个结构，我可以找到BIC分数如下

library(bnlearn)
X = iris[, 1:3]
names(X) = c("A", "B", "C")
Network = empty.graph(names(X))
bnlearn::score(Network, X, type="bic-g")

bnlearn 为我提供了有关如何计算此分数的更详细信息，

bnlearn::score(Network, X, type="bic-g", debug=TRUE)

这会导致

----------------------------------------------------------------
* processing node A.
  > loglikelihood is -184.041441.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
----------------------------------------------------------------
* processing node B.
  > loglikelihood is -87.777815.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
----------------------------------------------------------------
* processing node C.
  > loglikelihood is -297.588727.
  > penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
[1] -584.4399

我知道如何计算贝叶斯网络中离散数据的 BIC，参考here。但我不知道它如何推广到联合高斯（多元正态）情况。

肯定它可能与近似似然性和惩罚项有关，并且似乎包过程计算每个节点的似然性和惩罚，然后将它们相加。

bnlearn::score(Network, X, type="loglik-g", debug=TRUE)

但我想知道在给定数据的情况下如何具体计算可能性和惩罚。

我找到了解释 Laplace Approximation 的 material（请参阅第 57 页），但我无法将其联系起来。

有人帮帮我吗？

Answer 1

BIC 的计算公式为

BIC = -2* logLik + nparams* log(nobs)

但在bnlearn 中，这会被重新调整为 -2（参见?score）以给出

BIC = logLik -0.5* nparams* log(nobs)

因此，对于您的示例，没有边的可能性是使用边际均值和误差（或更一般地，对于每个节点，参数的数量由 1（截距）+1（残差）+父母的数量），例如

library(bnlearn)
X = iris[, 1:3]
names(X) = c("A", "B", "C")
Network = empty.graph(names(X))

(ll = sum(sapply(X, function(i) dnorm(i, mean(i), sd(i), log=TRUE)))) 
#[1] -569.408
(penalty = 0.5* log(nrow(X))* 6)
#[1] 15.03191

ll - penalty
#[1] -584.4399

如果存在边，则使用拟合值和残差计算对数似然。对于网络：

Network = set.arc(Network, "A", "B")

我们需要来自节点 A 和 C 的对数似然分量

(llA = with(X, sum(dnorm(A, mean(A), sd(A), log=TRUE))))
#[1] -184.0414
(llC = with(X, sum(dnorm(C, mean(C), sd(C), log=TRUE))))
#[1] -297.5887

我们从线性回归中得到 B 的条件概率

m = lm(B ~ A, X)
(llB = with(X, sum(dnorm(B, fitted(m), stats::sigma(m), log=TRUE))))
#[1] -86.73894

给予

(ll = llA + llB + llC)
#[1] -568.3691
(penalty = 0.5* log(nrow(X))* 7)
#[1] 17.53722
ll - penalty
#[1] -585.9063 

#  bnlearn::score(Network, X, type="bic-g", debug=TRUE)
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node A.
#    loglikelihood is -184.041441.
#    penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node B.
#    loglikelihood is -86.738936.
#    penalty is 2.505318 x 3 = 7.515953.
# ----------------------------------------------------------------
# * processing node C.
#    loglikelihood is -297.588727.
#    penalty is 2.505318 x 2 = 5.010635.
# [1] -585.9063