是否有始终满足线性约束的 fmincon 算法？

Question

我试图在 Matlab 中使用相当复杂的目标函数执行约束线性优化。对于不符合我定义的线性不等式约束的输入值，这个目标函数会产生误差。我知道有 a few algorithms 在每次迭代中强制严格遵守边界，但有没有人知道任何算法（或其他机制）在每次迭代中强制严格遵守线性（不等式）约束？

我可以让我的目标函数在任何此类点都返回零，但我担心会引入大的不连续性。

Answer 1

免责声明：我不是优化专家。不过有一些想法：

1. 表示约束的对数障碍函数

要扩展 DanielTheRocketMan 的建议，您可以使用对数屏障函数来表示约束。如果您有约束 g(x)

fprim(x) = f(x) - (1/t) * log(-g(x))

其中 t 是定义约束的锐度的参数。当 g(x) 从下方接近 0 时，-log(-g(x)) 趋于无穷大，惩罚目标函数接近违反约束。较高的 t 值让 g(x) 更接近于 0。

1. 您回答了自己的问题？将 fmincon 与满足约束的严格可行性的算法之一一起使用？

如果你的约束是线性的，那应该很容易传递给 fmincon。使用满足严格可行性的算法之一。

1. 听起来这对你不起作用，但是 cvx 是一个很棒的包，可以解决一些凸问题，但对于其他问题却很可怕/不可行。如果您的问题是 (i) 凸和 (ii) 目标函数和约束不太复杂，那么 cvx 是一个非常酷的包。不过使用它有一些学习曲线。

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很明显，但是如果您的问题不是凸的，那么您可能会遇到很大的问题，即陷入局部最优而不是找到全局最优。总是需要注意的事情。

Answer 2

如果 Matlab 不适合你，你可以自己实现所谓的Interior point penalty method [你需要改变你的目标函数]。参见等式 (1) 和 (2) [来自维基百科页面]。请注意，通过使用内部障碍，当 x 接近约束 [c(x) 接近于零] 时，惩罚会发散。该解决方案处理不等式约束。你也可以控制mu超时的值。最好的解决方案是假设 mu 随着时间的推移而减小。这意味着您需要处理一系列优化。如果 mu 不为零，则解总是会受到影响。此外，请注意，使用此方法您的问题不再是线性的。

在等式约束的情况下，唯一简单（和通用）的处理方法是直接使用约束方程。例如，X1+x2+x3=3。将其重写为 x1=3-x2-x3 并用它来替换所有其他方程中 x1 的值。由于您的系统是线性的，它应该可以工作。