使用 FFT 表示 2D 场的 3D 数组

Question

我需要得到一个复数域的傅里叶变换。我正在使用 python。

我的输入是 xy 平面中电场的 2D 快照。

我目前有一个 3D 数组 F[x][y][z] 其中 F[x][y][0] 包含实部，F[x][y]1 包含复数领域。

我当前的代码很简单，就是这样做的：

result=np.fft.fftn(F)
result=np.fft.fftshift(result)

我有以下问题：

1) 这是否正确计算了场的傅立叶变换，还是应该将场作为 2D 矩阵输入，每个元素都包含实部和虚部？

2) 我仅使用实数倍数输入了字段的复分量值（即，如果复数值是 6i，我输入了 6），这是正确的还是应该作为复数值输入（即输入为 ' 6j')?

3) 由于这在技术上是一个 2D 输入字段，我应该使用 np.fft.fft2 代替吗？这样做意味着输出不在中间。

4) 输出看起来不像我期望的 F 的傅立叶变换的样子，我不确定我做错了什么。

完整示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-1,1,100), np.linspace(-1,1,100))
d = np.sqrt(x*x+y*y)
sigma, mu = .35, 0.0
g1 = np.exp(-( (d-mu)**2 / ( 2.0 * sigma**2 ) ) )

F=np.empty(shape=(300,300,2),dtype=complex)
for x in range(0,300):
        for y in range(0,300):
            if y<50 or x<100 or y>249 or x>199:
                    F[x][y][0]=g1[0][0]
                    F[x][y][1]=0j
            elif y<150:
                    F[x][y][0]=g1[x-100][y-50]
                    F[x][y][1]=0j
            else:
                    F[x][y][0]=g1[x-100][y-150]
                    F[x][y][1]=0j

F_2D=np.empty(shape=(300,300))
for x in range(0,300):
    for y in range(0,300):
            F_2D[x][y]=np.absolute(F[x][y][0])+np.absolute(F[x][y][1])

plt.imshow(F_2D)
plt.show()

result=np.fft.fftn(F)
result=np.fft.fftshift(result)

result_2D=np.empty(shape=(300,300))
for x in range(0,300):
    for y in range(0,300):
            result_2D[x][y]=np.absolute(result[x][y][0])+np.absolute(result[x][y][1])

plt.imshow(result_2D)
plt.show()

绘制 F 给出了这个：

使用 np.fft.fftn，最后显示的图像是：

使用 np.fft.fft2：

这些看起来都不像我所期望的 F 的傅立叶变换。

Answer 1

我在这里添加另一个答案，适合添加的代码。

答案仍然是np.fft.fft2()。这是一个例子。我稍微修改了代码。为了验证我们是否需要fft2，我丢弃了其中一个 blob，然后我们知道单个高斯 blob 应该转换为高斯 blob（具有特定相位，绘制绝对值时未显示）。我还降低了标准偏差，这样频率响应就会变宽一些。

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x, y = np.meshgrid(np.linspace(-1,1,100), np.linspace(-1,1,100))
d = np.sqrt(x**2+y**2)
sigma, mu = .1, 0.0
g1 = np.exp(-( (d-mu)**2 / ( 2.0 * sigma**2 ) ) )
N = 300
positions = [ [150,100] ]#, [150,200] ]
sz2 = [int(x/2) for x in g1.shape]
F_2D = np.zeros([N,N])
for x0,y0 in positions:
    F_2D[ x0-sz2[0]: x0+sz2[0], y0-sz2[1]:y0+sz2[1] ] = g1 + 1j*0.

result = np.fft.fftshift(np.fft.fft2(F_2D))

plt.subplot(211); plt.imshow(F_2D)
plt.subplot(212); plt.imshow(np.absolute(result))
plt.title('$\sigma$=.1')
plt.show()

结果：

要回到原来的问题，我们只需要改变

positions = [ [150,100] , [150,200] ] 和sigma=.35 而不是sigma=.1。

Answer 2

您应该使用复杂的 numpy 变量（通过使用1j）并使用fft2。例如：

N = 16
x0 = np.random.randn(N,N,2)
x = x0[:,:,0] + 1j*x0[:,:,1]
X = np.fft.fft2(x)

在x0 上使用fftn 将执行3D FFT，使用fft 将执行矢量方向的1D FFT。