泊松过程累计和统计

Question

我试图了解泊松分布和指数分布之间的联系。在这里，我从泊松过程中提取了值并计算了累积和

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Intensity of process
lam = 16
bins = 100
length_vec = 10000
poisson = np.random.poisson(lam,length_vec)
z_poisson = np.cumsum(poisson)
print('mean difference poisson cumsum = ',np.mean(np.diff(z_poisson)))
print('mean difference between poisson vals =',np.mean(np.abs(np.diff(poisson))))

#Histogram Poisson Process Vector
plt.hist(poisson, bins=bins)
plt.title('Poisson Process')
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('count')

plt.show()
plt.close()

#Histogram Poisson Process Cumulative Sum Difference
plt.hist(np.diff(z_poisson), bins=bins)
plt.title('Poisson Process Interval Difference')
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('count')

plt.show()

第一个图是泊松过程的直方图

第二个图是泊松过程的累积和的元素差异的直方图

如果我取累积和元素向量之间差异的平均值，则该值为

print('mean difference poisson cumsum = ',np.mean(np.diff(z_poisson)))
mean difference poisson cumsum = 16.000300030003

这大约几乎等于泊松过程的强度。这是否意味着……

A) 我的累积和 z_{j+1}-z_j 的增量是泊松分布的

B) 过程的强度决定增量的大小？我认为增量的大小是 1/lam ？

寻找一些一般性的建议...如果不是正确的堆栈，可以删除。提前致谢。

Answer 1

当您计算任何序列的“累积和元素的差异”时，您就恢复了原始序列。*根据累积和的定义，这是正确的，您只是将其反转操作。

所以你的两个情节应该是完全相同的，因为这两个系列是相同的。特别是，它们具有相同的均值（给出或取一点数值误差）。

这对于任何系列都是正确的，所以它并没有告诉我们关于泊松分布本身的任何信息。

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(*) 正如@Henry 指出的那样，您可能会丢失原始的第一个值。