为什么我的 A*A Transpose 和 A Transpose*A 的特征值不匹配？

Question

  import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import scipy.linalg as la
    A = np.array([[-5,-5,-1,0,0,0,500,500,100],
        [0,0,0,-5,-5,-1,500,500,100],
        [-150,-5,-1,0,0,0,30000,1000,80],
        [0,0,0,-150,-5,-1,12000,400,80],
        [-150,-150,-1,0,0,0,33000,33000,220],
        [0,0,0,-150,-150,-1,12000,12000,80],
        [-5,-150,-1,0,0,0,500,15000,100],
        [0,0,0,-5,-150,-1,1000,30000,200]])

    print("Matrix A is :\n", A)
    A_Trans=np.transpose(A)
    print("Transpose is:\n",A_Trans)
    prod1=np.dot(A,A_Trans)
    print(prod1)
    u,v = la.eigh(prod1)
    print("Eigen values of AAT are \n",np.abs(u))
    print("Corresponding eigenvectors of AAT in the columns: \n",np.abs(v))
    prod2=np.dot(A_Trans,A)
    print(prod2)
    w,x = la.eigh(prod2)
    print("Eigen values of ATA are \n",np.abs(w))
    print("Corresponding eigenvectors of ATA in the columns: \n",np.abs(x))

这是我得到的输出。为了保持帖子整洁，我省略了一些输出。

Eigen values of AAT are 
 [2.85018004e+09 4.52373040e+00 2.19731826e+03 1.84822781e+04
 2.46139762e+04 4.52427374e+04 1.01150754e+09 2.18234247e+09]

Eigen values of ATA are 
 [3.28219743e+09 6.70266037e+08 2.95889936e-01 1.23330275e+00
 9.79916827e+03 2.20387805e+04 3.06750605e+04 7.13857850e+04
 1.12278371e+06]

我考虑过使用 svd 功能，但我想自己尝试一下。但是，它在 MATLAB 中工作得很好，但在 python 中却不行。此外，当我输入像 2X2 这样的较小矩阵时，它工作正常。我究竟做错了什么？

Answer 1

这没有给你所有相同的值的原因是A 是一个 8 x 9 矩阵。这意味着np.dot(A,A_Trans) 给您一个 8 x 8 矩阵，而np.dot(A_Trans,A) 给您一个 9 x 9 矩阵（这是因为矩阵乘法规则）。

8x8 矩阵无法与 9x9 矩阵具有相同的特征值，因为一个有 8 个特征值，另一个有 9 个。这甚至反映在您的更新中，其中一个列表有 8 个值，并且另一个有 9 个。