将两个数字相加以达到一个值的算法

Question

我有一个家庭作业要求我检查任意三个数字 a,b,c 是否满足 0

为了使这成为可能，目标数字 c，必须能够以以下形式表示：

c = xa + yb

通过一些测试，我发现x和y的值不能相等，也不能同时是偶数，这样我才能达到数字c。请记住这一点，以及一些涉及 a、b 或 c 等于零的特殊情况。

有什么想法吗？

编辑： 这不是欧几里得算法，也不是丢番图方程，也许我用 c = xa + yc 的说法误导了你。即使他们应该满足这个陈述，但这对于手头的任务来说是不够的。

以a=2、b=3、c=10为例。为了达到 c，您需要在第一步中将 a 添加到 b 或 b 到 a，然后在第二步中您将得到：a = 2, b = 5 或 a = 5, b = 3 ，如果你继续这样做，你将永远无法达到 c。 Euclid 的算法将提供输出 yes，但很明显，通过将 2 和 3 相加，您无法达到 10。

Answer 1

注意： 重述问题，据我所知：假设给定非负整数 a、b 和 c。是否有可能通过执行一系列零个或多个操作a = a + b 或b = b + a，达到a + b == c 的点？

好的，在进一步研究之后，我认为您可以对您在问题中所做的陈述进行一些小改动：

为了使这成为可能，目标编号 c，必须能够 表示为：

c = xa + yb

其中 GCD(x,y) = 1。

（另外，x 和 y 必须是非负数；我不确定它们是否为 0。）

您最初的观察，即 x 可能不等于 y（除非它们都是 1）并且 x 和 y 不能都是偶数，由新条件 GCD(x,y) = 1 暗示；所以这些观察结果是正确的，但还不够强。

如果你在你的程序中使用它而不是你已经拥有的测试，它可能会使测试通过。 （我不保证任何事情。）对于更快的算法，您可以使用 cmets （和亨利的回答）中建议的扩展欧几里德算法来找到一个 x₀ 和y₀;但如果 GCD(x₀,y₀) ≠ 1，则必须尝试其他可能性 x = x₀ + nb, y = y em>₀ - na，对于某些 n（可能为负数）。

我没有严格的证据。假设我们构造了所有对 (x,y) 的集合 S，使得 (1,1) 在 S em>，如果 (x,y) 在 S 中，则 (x,x+y) 和 (x+y,y) 在 S时间>。很明显 (1,n) 和 (n,1) 在 S 对于所有 n > 1 . 然后我们可以试着弄清楚，对于一些 m 和 n > 1，这对 (m,n) 进入 S?如果 m n，只有当 (m, n-m) 已经在 S 中。如果 m > n，只有当 (m-n, n ) 已经在 S 中。无论哪种方式，当您不断从较大的数字中减去较小的数字时，您得到的本质上是欧几里得算法，这意味着您将达到您的配对 (g,g em>) 其中 g = GCD(m,n);只有当 g = 1 时，该对才在 S 中。在我看来，x 和 y 的可能值上面等式中目标数 c 中的 em> 正是 S 中的那些。不过，这部分是基于直觉。需要做更多的工作才能使其更加严谨。

Answer 2

如果我们暂时忘记了 x 和 y 应该是正数，那么方程 c = xa + yb 要么没有解，要么有无穷多个解。当 c 不是 gcd(a,b) 的倍数时，没有解。

否则，调用 gcd(a,b) = t 使用扩展欧几里得算法来找到 d 和 e，使得 t = da + eb。一个解决方案是 c = dc/t a + ec/t b。

很明显，0 = b/t a - a/t b 因此可以通过将 f 的倍数添加到方程中来找到更多解：

c = (dc + fb)/t a + (ec - af)/t b

当我们现在重新引入 x 和 y 必须为正或为零的限制时，问题变成了找到使 x = (dc + fb)/t 和 y = (ec - af)/t 均为正的 f 值或零。

如果 dc = 0 的最小 f 并查看 ec - af 是否也 >=0。

否则尝试使 ec - af >= 0 的最大 f（负数）并检查 dc + fb >= 0。

Answer 3

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;

public class Main
{
    private static boolean result(long a, long b, long c)
    {
        long M=c%(a+b);
        return (M%b == 0) || (M%a == 0);
    }
}

Idea:c=xa+by，因为 x 或 y 更大，我们可以将后一个方程写成以下两种形式之一： c=x(a+b)+(y-x)b, c=y(a+b)+(x-y)a 取决于谁更大，因此通过每次将 c 减少 a+b ， c 最终变为： c=(y-x)b 或 c=(x-y)b，因此 c%b 或 c%a 将计算为 0。