对信号进行频谱分析时的傅里叶变换 (FFT) 单位答案

【问题标题】：Units of a Fourier Transform (FFT) when doing Spectral Analysis of a Signal对信号进行频谱分析时的傅里叶变换 (FFT) 单位
【发布时间】：2010-12-04 04:10:59
【问题描述】：

我的问题与对信号进行频谱分析或将信号放入 FFT 并使用合适的数值包解释结果的物理意义有关，

具体来说：

获取一个信号，比如一个随时间变化的电压 v(t)
将其放入 FFT（得到复数序列）
现在取模数 (abs) 并将结果平方，即 |fft(v)|^2。

所以你现在在 y 轴上有实数——我应该把这些称为光谱系数吗？

使用采样分辨率，您可以按照食谱食谱将频谱系数与频率相关联。
此时，您有一个频谱 g(w)，x 轴为频率，但 y 轴为哪些物理单位？

我的理解是，这个频谱显示了电压信号中存在多少各种频率——它们是频谱系数，因为它们是重构所需的各种频率的正弦和余弦系数原始信号。

所以第一个问题是，这些频谱系数的单位是什么？

这很重要的原因是频谱系数可以很小也很大，所以我想使用 dB 标度来表示它们。

但要做到这一点，我必须做出选择：

要么我使用 20log10 dB 转换，对应于现场测量，如电压。
或者我使用 10log10 dB 转换，对应于能量测量，例如功率。

我使用哪种缩放取决于单位。

对此的任何启示将不胜感激！

【问题讨论】：

请注意，对于以 f 表示的傅立叶变换（不是 fft），单位为 [V.s]（如果信号以伏特为单位，时间以秒为单位）。这是因为当我们积分时，结果是 y 轴的单位乘以 x 轴的单位（求曲线下的面积）。此外，信号平方的积分在时域和频域中是相同的（Parseval 定理）。左边的单位是 [V^2.s]，右边的单位是 [X^2.(1/s)]（f 的单位是 Hz），因此 X = [V.s]。另见physics.stackexchange.com/questions/15073/…
@EvgeniSergeev - 谢谢，这是对核心傅里叶变换的一个很好的解释，与基础数学有关 (+1)。
我投票结束这个问题，因为它属于Physics
@BryanH：6 年后，不确定你是否会增加关闭它的全部价值。请记住，该网站在早期是相当不同的。一方面，stackoverflow 是当时镇上唯一的游戏。而且从对问题和答案的回答来看，SO 的读者群中仍然有很多工程师。恕我直言，我会说保持原样。

标签： math physics fft measurement spectrum

【解决方案1】：

嗯，我知道迟到的答案。但我只是有理由在不同的背景下做这样的事情。我的原始数据是针对存储单元的事务的延迟值——我将其重新采样为 1 毫秒的时间间隔。所以原始数据 y 是“延迟，以微秒为单位”。我有 2^18 = 262144 个原始数据点，时间步长为 1ms。

在我进行 FFT 之后，我得到了第 0 个分量 (DC)，因此满足以下条件：

FFT[0] = 262144*（所有输入数据的平均值）。

所以在我看来 FFT[0] 是 N*（输入数据的平均值）。这是有道理的——每个数据点都拥有 DC 平均值作为它的一部分，所以你把它们加起来。

如果您查看 FFT 的定义，这也是有意义的。所有其他组件也将涉及正弦和余弦项，但实际上 FFT 只是一个求和。平均值只是碰巧在所有点中均等存在的唯一一个，因为您有 cos(0) = 1。

【讨论】：

因此，要完成这个想法，单位必须相同，因为 FFT 分量只是输入分量乘以无量纲正弦和余弦项的总和。

【解决方案2】：

电阻器的功率为v^2/R 瓦。信号x(t) 的功率是对1 Ohm 电阻器的功率抽象。因此，信号x(t)的功率为x^2（也称为瞬时功率），与x(t)的物理单位无关。

例如，如果x(t) 是温度，x(t) 的单位是度C，那么x(t) 的功率x^2 的单位是C^2，当然不是瓦特。

如果对x(t)进行傅里叶变换得到X(jw)，那么X(jw)的单位为C*sec或C/Hz（根据傅里叶变换积分）。如果使用(abs(X(jw)))^2，则单位为C^2*sec^2=C^2*sec/Hz。由于功率单位是C^2，能量单位是C^2*sec，那么abs(X(jw)))^2 给出了能量谱密度，比如E/Hz。这与 Parseval 定理一致，其中x(t) 的能量为(1/2*pi) 乘以abs(X(jw)))^2 对w 的积分，即(1/2*pi)*int(abs(X(jw)))^2*dw) > (1/2*pi)*(C^2*sec^2)*2*pi*Hz > (1/2*pi)*(C^2*sec/Hz)*2*pi*Hz > E。

转换为 dB（对数刻度）刻度不会改变单位。

如果你对x(t) 的样本进行 FFT，写成x(n)，得到X(k)，那么结果X(k) 是一个周期函数的傅立叶级数系数的估计，其中一个周期超过T0 seconds 是采样的x(t) 的片段。如果x(t) 的单位是度C，那么X(k) 的单位也是度C。 abs(X(k))^2的单位是C^2，是功率的单位。因此，abs(X(k))^2 与频率的关系图显示了x(n) 的功率谱（不是功率谱密度），它是x(t) 在频率k/T0 Hz 处的一组频率分量的功率估计值。

【讨论】：

【解决方案3】：

到目前为止，这是我能想到的：

y 轴的单位似乎可能是 [能量 / Hz] ！？

这是我的推导方式（欢迎提供反馈！）：

信号 v(t) 以伏特为单位
所以在进行傅里叶积分后：积分 e^iwt v(t) dt ，我们应该有 [volts*seconds] 或 [volts/Hz] 的单位（e^iwt 没有单位）
取幅值的平方应该给出 [volts^2 * s^2] 或 [v^2 * s/Hz] 的单位
我们知道功率与伏特 ^2 成正比，因此我们得到 [power * s / Hz]
但是Power是能量的时间变化率，即power = energy/s，所以我们也可以写成Energy = power * s
这给我们留下了候选结论 [能量/Hz]。（焦耳/赫兹？！）

...暗示“每赫兹的能量含量”的意思，并建议将频带整合并查看能量含量...如果它是真的那将是非常好的...

继续...假设以上是正确的，那么我们正在处理能量测量，因此这建议使用 10log10 转换来转换为 dB 标度，而不是 20log10...

...

【讨论】：

一切看起来都不错，只是它本身不是能量/功率。除非您有特定的阻力，否则您不应该撒谎并说它是 Volts^2。
我心中有一个理想的 50 欧姆电阻（发射设备阻抗与投影仪匹配）。 P ~ V^2 / R 其中 R 为 50 ohm 恒定负载。
@AssadEbrahim 这是一个旧的回复，所以不确定你是否还在，但这看起来不错！此外，我相信能量是 $\Sum_{k=0}^{N-1}x[n]^2$ 而功率是 $\frac{1}{N}\Sum_{k=0}^{N-1 }x[n]^2$。因此，如果我们通过长度（即样本中的持续时间）对 FFT 进行归一化，我们最终会得到功率谱密度。这对你有意义吗？
我不完全确定您的特定应用程序，但是当您在第 2 点进行傅里叶积分时，您不应该在前面包含归一化常数，单位为秒^ -1?

【解决方案4】：

取一个信号，一个时变电压v(t)

单位是V，值是实数。

将其放入 FFT 中——好的，你会得到一个复数序列

单位仍然是 V，值是复杂的（不是 V/Hz - DC 信号的 FFT 变为 DC 电平上的一个点，而不是 dirac delta 函数缩放到无穷大）

现在取模数（abs）

单位仍然是 V，值是实数 - 信号分量的幅度

对结果求平方，即|fft(v)|^2

单位现在是 V²，值是实数 - 信号分量幅度的平方

我应该称这些光谱系数吗？

它更接近于功率密度，而不是通常使用的频谱系数。如果您的接收器是一个完美的电阻器，它将是功率，但如果您的接收器是频率相关的，它是“输入电压的 FFT 幅度的平方”。

此时，您有一个频谱 g(w)：x 轴上的频率，以及... y 轴上的物理单位是什么？

单位是V²

单位重要的另一个原因是频谱系数可能很小而且很大，所以我想使用 dB 标度来表示它们。但要做到这一点，我必须做出选择：我是否使用 20log10 dB 转换（对应于现场测量，如电压）？还是我使用 10log10 dB 转换（对应于能量测量，如功率）？

您已经对电压值进行了平方，将等效功率提供给完美的 1 欧姆电阻，因此请使用 10log10。

log(x²) 是 2 log(x)，所以 20log10 |fft(v)| = 10log10 (|fft(v)|²)，所以如果你没有对这些值进行平方，你可以使用 20log10。

【讨论】：

皮特，谢谢！当您输入回复时，我正在编辑推导。我得到能量/赫兹（见下面的推导）。
是的。这就是为什么我说“不是 V/Hz - DC 信号的 FFT 成为 DC 电平上的一个点，而不是缩小到无穷大的狄拉克三角函数”。 FFT 计算在离散时间点采样的输入总和乘以无量纲值； FFT 结果的单位是其输入的单位；在这个过程中没有时间或频率的缩放。
@Pete -- 啊啊！我知道了。谢谢。那么，术语“谱系数”是否可以正确应用于 fft(v) 中的复数序列？
@PeteKirkham 为什么单位不是V*s，因为傅立叶变换是S(w) = integral(s(t) * exp(-j*w*t) * dt)？指数是无单位的，信号s(t) 以伏特为单位，dt 以秒为单位。编辑：啊，也许 FFT 算法专门跳过了 dt 比例因子。嗯，这里可能值得一提。

【解决方案5】：

y 轴是复数（与实数相反）。幅度是原始信号的幅度，无论您的原始样本采用什么单位。角度是该频率分量的相位。

【讨论】：

谢谢劳伦斯；让我澄清一下：（A）我在 y 轴上得到真实值。因此，由于真正的傅立叶变换会给出复数值，因此包内可能会发生以下情况之一：(i) 它采用变换的实数值，或 (ii) 它采用变换的幅度，或 (iii ) ? (B) 原始样本以伏特为单位
@AKE，复杂值的实部本身并不能告诉你太多——它几乎一文不值。您可能需要幅度，即sqrt(r^2 + i^2)，或者更容易计算的幅度的平方，省略sqrt。
实部和虚部是什么单位？相位是什么单位（意思是x轴的单位）
@Gulzar y 轴的幅度与原始输入波的 y 轴单位相同。实部和虚部与幅度的单位相同，但独立考虑它们通常没有多大意义，就像您不会只查看距离向量的一个维度一样。相位不是 x 轴，相位是极坐标形式的 y 角度 - 360° = 2π 弧度 = 1 个周期。 x 轴是频率，比例取决于样本数和采样率。有关 x 轴的详细信息，请参阅另一个问题：stackoverflow.com/q/4364823/90848