如何创建一个简单的梯度下降算法

Question

我正在研究简单的机器学习算法，从简单的梯度下降开始，但尝试在 python 中实现它时遇到了一些麻烦。

这是我试图重现的示例，我有关于房屋的数据（居住面积（英尺 2）和卧室数量）以及最终价格：

生活区（英尺2）：2104

#卧室：3

价格（1000 美元）：400

我正在尝试使用梯度下降法进行简单回归，但我的算法不起作用... 该算法的形式不是故意使用向量（我试图逐步理解它）。

i = 1
import sys
derror=sys.maxint
error = 0
step = 0.0001
dthresh = 0.1
import random

theta1 = random.random()
theta2 = random.random()
theta0 = random.random()
while derror>dthresh:
    diff = 400 - theta0 - 2104 * theta1 - 3 * theta2
    theta0 = theta0 + step * diff * 1
    theta1 = theta1 + step * diff * 2104
    theta2 = theta2 + step * diff * 3
    hserror = diff**2/2
    derror = abs(error - hserror)
    error = hserror
    print 'iteration : %d, error : %s' % (i, error)
    i+=1

我理解数学，我正在构建一个预测函数 与 和 作为变量（居住面积、卧室数量）和 估计价格。

我正在使用成本函数 ( ) （一分）： 这是一个常见的问题，但我更像是一名软件工程师，我一步一步地学习，你能告诉我哪里出了问题吗？

我得到了它与这个代码一起工作：

data = {(2104, 3) : 400, (1600,3) : 330, (2400, 3) : 369, (1416, 2) : 232, (3000, 4) : 540}
for x in range(10):
    i = 1
    import sys
    derror=sys.maxint
    error = 0
    step = 0.00000001
    dthresh = 0.0000000001
    import random

    theta1 = random.random()*100
    theta2 = random.random()*100
    theta0 = random.random()*100
    while derror>dthresh:
        diff = 400 - (theta0 + 2104 * theta1 + 3 * theta2)
        theta0 = theta0 + step * diff * 1
        theta1 = theta1 + step * diff * 2104
        theta2 = theta2 + step * diff * 3
        hserror = diff**2/2
        derror = abs(error - hserror)
        error = hserror
        #print 'iteration : %d, error : %s, derror : %s' % (i, error, derror)
        i+=1
    print ' theta0 : %f, theta1 : %f, theta2 : %f' % (theta0, theta1, theta2)
    print ' done : %f' %(theta0 + 2104 * theta1 + 3*theta2)

最终得到这样的答案：

 theta0 : 48.412337, theta1 : 0.094492, theta2 : 50.925579
 done : 400.000043
 theta0 : 0.574007, theta1 : 0.185363, theta2 : 3.140553
 done : 400.000042
 theta0 : 28.588457, theta1 : 0.041746, theta2 : 94.525769
 done : 400.000043
 theta0 : 42.240593, theta1 : 0.096398, theta2 : 51.645989
 done : 400.000043
 theta0 : 98.452431, theta1 : 0.136432, theta2 : 4.831866
 done : 400.000043
 theta0 : 18.022160, theta1 : 0.148059, theta2 : 23.487524
 done : 400.000043
 theta0 : 39.461977, theta1 : 0.097899, theta2 : 51.519412
 done : 400.000042
 theta0 : 40.979868, theta1 : 0.040312, theta2 : 91.401406
 done : 400.000043
 theta0 : 15.466259, theta1 : 0.111276, theta2 : 50.136221
 done : 400.000043
 theta0 : 72.380926, theta1 : 0.013814, theta2 : 99.517853
 done : 400.000043

Answer 1

第一个问题是，仅使用一条数据运行此程序会给您一个不确定的系统......这意味着它可能有无限数量的解决方案。对于三个变量，您希望至少有 3 个数据点，最好更高。

其次，使用梯度下降，其中步长是梯度的缩放版本，不能保证收敛，除非在解决方案的小邻域中。您可以通过切换到负梯度方向的固定大小步长（慢）或负梯度方向的线搜索（更快，但稍微复杂一些）来解决这个问题

所以对于固定步长而不是

theta0 = theta0 - step * dEdtheta0
theta1 = theta1 - step * dEdtheta1
theta2 = theta2 - step * dEdtheta2

你这样做

n = max( [ dEdtheta1, dEdtheta1, dEdtheta2 ] )    
theta0 = theta0 - step * dEdtheta0 / n
theta1 = theta1 - step * dEdtheta1 / n
theta2 = theta2 - step * dEdtheta2 / n

您的步骤中似乎也有符号错误。

我也不确定 derror 是否是一个很好的停止标准。 （但众所周知，停止标准很难“正确”）

我的最后一点是，梯度下降对于参数拟合来说非常慢。您可能想改用共轭梯度或 Levenberg-Marquadt 方法。我怀疑 numpy 或 scipy 包中的 python 已经存在这两种方法（默认情况下它们不是 python 的一部分，但很容易安装）