使用斐波那契数的大小调整动态数组的大小答案

【问题标题】：Resizing dynamic array with the size of Fibonacci numbers使用斐波那契数的大小调整动态数组的大小
【发布时间】：2020-12-26 23:36:09
【问题描述】：

我们有一个斐波那契数大小的动态数组。假设 F(k) 是数组的当前大小（F(k) 是斐波那契数列的第 k 个数）。我们这里有两条规则： 1）如果在数组中插入一个元素后，数组元素的个数为F(k-1)，我们创建一个大小为F(k+1)的新数组，并将之前的元素复制到新数组中。 2）如果从数组中删除一个元素后，数组元素的个数为F(k-3)，我们创建一个大小为F(k-1)的新数组，并将之前的元素复制到新数组中。

起初，数组是空的，大小为 2。我们想证明对于每个动作序列（插入或删除），每个动作的摊销时间复杂度为 O(1)。

为了解决这个问题，我意识到在两个数组增长动作之间至少有 F(k-1)-F(k-2) 个动作，复制元素需要 O(F(k-1))时间。此外，在两个数组收缩操作之间至少有 F(k-2)+F(k-3) 次操作，复制元素需要 O(F(k-3)) 时间。你能帮我解决这个问题吗？

【问题讨论】：

即使复制是 O(F(k-1))，创建数组也不应该是 O(F(k + 1))？
缺少的部分是 F(k-3)、F(k-2)、F(k-1) 和 F(k) 都是 Theta(phi^k) 其中 phi 是黄金比例。

标签： algorithm fibonacci dynamic-arrays amortized-analysis

【解决方案1】：

如果我们假设n = F(k)，摊销分析是每次复制的总和，即T(n) = F(1) + F(2) + ... + F(k)。我们知道T(n) = F(k+2) -1。

作为T(n) = F(k+2) - 1 = F(k+1) + F(k) - 1 = 2F(k) + F(k-1) - 1= 2*n + F(k-1) - 1< 3n - 1，因此摊销成本是T(n)/n < 3，这意味着T(n) = Theta(1)在摊销意义上。

【讨论】：