这个斐波那契序列函数是递归的吗？答案

【问题标题】：Is this Fibonacci sequence function recursive?这个斐波那契序列函数是递归的吗？
【发布时间】：2010-10-30 04:40:48
【问题描述】：

考虑以下 (Haskell) 代码：

fib=0:1:zipWith (+) fib (tail fib)

一位同事试图断言这不是一个递归函数，因为fib 只是一个用自身定义自身的列表，并且在某种程度上不同于执行相同操作的函数。我认为他在吸食快克。

你怎么看？

【问题讨论】：

printf "哦，不，零参数的函数，我们不能拥有它！"或死；
zipWith 是递归函数，fib 指的是它的结果。它没有什么神奇或非递归的。（下面声称“没有功能”的答案和你的同事一样困惑。）
你的同事朋友正在挑剔。从技术上讲，它是一个递归定义的值，而不是一个函数。
Piet，你的定义是非标准的。不要假设每个人都错了，因为他们都使用相同的定义，而这恰好与您的不匹配。
Carl：我不确定你指的是什么，但递归函数和递归数据结构在 Haskell 中定义得非常好。查看关于"Tying the Knot" 和相关主题的任意数量的论文和著作。

标签： haskell recursion

【解决方案1】：

zipWith 的斐波那契定义不是递归函数，实际上不涉及任何函数，fib 是一个延迟自定义的列表（数据），利用了 Haskell 的延迟语义。从某种意义上说，你可以称之为递归列表或递归数据；但不是递归函数。

你可能很难理解递归列表，因为很少有编程语言有任何接近的东西，但你会注意到在 Haskell 中所有函数都只接受一个参数。 fib 不带任何参数，因为它不是函数。由于不涉及函数，所以不能有递归函数。

你的同事没有吸食快克，他是开明的（或者吸食快克，如果这是你对开悟的定义）。

【讨论】：

@Piet Delport: fib 出现在它自己定义的右侧......你用什么词来形容它？我称之为“递归”。 zipWith 的递归性和功能性（功能性？）在这里都没有受到质疑。
pelotom：在 Haskell 中，递归 data 和递归函数之间存在根本区别。递归数据是当一个数据结构具体引用回它自己的构造函数时，就像你说xs = 1:2:3:xs 时发生的那样：最终的 cons 引用回最初的 cons，形成一个循环。有许多不同的方法可以实现这种数据递归：参见Tying the Knot。另一方面，递归函数就像zipWith。它们也可能定义或不定义递归数据结构，但在这种情况下，fib 不是。
@Piet：xs = 1:2:3:xs 是一个自引用定义，fib=0:1:zipWith (+) fib (tail fib) 也是如此。它们都是递归数据。有什么问题？
@Piet：fib 在其定义中使用zipWith 的事实既不存在也不存在。 fib 最肯定是递归数据，这可以通过它根据自身定义这一事实来证明。在等式的 RHS 上看到这两个 fib 实例吗？这意味着它是根据自身定义的，例如它是递归的。我不知道有多少种不同的方式可以重申这个基本观点。
@Piet Delport：递归数据是参考自身定义的数据；递归数据的一般形式为：recd = a1 : a2 : ... : an : (f recd)。 xs = 1 : 2 : 3 : xs 的情况只是f x = x 时的特例。因此fib是一个递归数据，当f x = zipWith (+) x (tail x)。 f 在内部使用递归函数（例如zipWith）是完全不相关的。

【解决方案2】：

天哪，这是多么微妙的术语区别。 “这”是什么？

fib=0:1:zipWith (+) fib (tail fib)

它不是递归函数。它不是递归数据。这是一个递归定义。

定义了什么？

fib

根据这个定义，fib 是什么类型的东西？

[Integer]

整数列表（或者可能是任何旧数字的列表）。

fib 是一个函数吗？不，这是一个列表。 fib 是递归定义的吗？是的。如果我们将zipWith 替换为相同类型的非递归函数（例如\ f xs ys -> xs），fib 会被递归定义吗？是的，虽然它会是一个不同的递归定义列表。

fib 是循环列表吗？不，“递归数据结构”是指“循环数据结构”吗？不是根据 Hoare 的论文“递归数据结构”：http://portal.acm.org/book_gateway.cfm?id=63445&type=pdf&bookpath=%2F70000%2F63445%2Fcb-p217-hoare.pdf&coll=&dl=&CFID=15151515&CFTOKEN=6184618

在类型化设置中，“递归数据结构”意味着不超过或少于“递归定义类型的居民”。相应地，"fred" 是一种递归数据结构，尽管它不是递归定义的，而且确实可以通过诸如++ 之类的递归函数对其进行操作。

短语“递归函数”的意思是“递归定义的函数”。短语“递归值”表示“递归定义的值”，例如存在于非严格语言中：严格语言存在“值递归”问题。

如果您认为这很迂腐，请尝试在 total 编程语言中以这种方式定义 fib，您会发现“递归定义”的概念拆分为“结构递归定义” "（以一种停止的方式消费数据）和“通过受保护的 corecursion 定义”（以一种持续的方式产生数据），而 fib 属于后者。在这种情况下，fib 的生产力主要取决于zipWith 的懒惰。当然，在 Haskell 环境中，您无需担心任何这些事情来弄清楚某物是什么类型的定义，只需弄清楚它是否有一半的机会实际工作。

【讨论】：

【解决方案3】：

它是递归的。你可以知道，因为= 的 LHS 名称也出现在 RHS 上。

然而它不是一个函数。你可以知道，因为fib 的类型不包含->。

【讨论】：

@Piet：但这不是问题所在。 OP专门说“这个斐波那契序列函数”，所以他显然不是在问 zipWith （除非你说 zipWith 是“斐波那契序列函数”）。
@Piet：但zipWith (+) fib (tail fib) 也不是一个函数。 zipWith 是一个函数，zipWith (+) fib (tail fib) 是应用该函数的结果。
@Piet：嗯，很好，但是函数应用程序和函数还是不一样的。
@Piet：不，这根本不是重点。正如您自己所说，问题是这里是否定义了递归函数。由于这里唯一定义的是fib，而fib 不是函数，因此答案显然是否定的。
这里肯定有人迟钝。

【解决方案4】：

您给出的示例是递归的。但斐波那契数列本质上不一定是这样。有iterative versions of the algorithm，甚至有explicit functions。

【讨论】：

迭代只是递归的一种特殊情况，生成一个序列在某种意义上总是递归的，原因很明显。然而，独立计算单个项的公式本身并不是递归的（尽管它使用可能会递归计算的函数）。

【解决方案5】：

由于大多数答案都支持您的同事关于 function 部分：“fib is not a recursive function。”我想详细说明 Conor McBride 在他的回答中暗示的递归部分。

为fib 给出的定义不是递归的，它是共同递归的。

协同递归看起来很像递归，正如许多海报所指出的那样，定义的 LHS 也出现在 RHS 上。但没有基本情况。递归和核心递归“以相反的方向运行”。

fib 的上述定义从初始值 0 和 1 开始，然后从那里“向上”移动并继续下去。另一方面，递归定义，例如（计算）第 n 个斐波那契数的函数

fib' 0 = 0
fib' 1 = 1
fib' n = fib' (n-1) + fib' (n-2)

从第 n 个数字“向下”走，直到到达基本情况并停止。

我想这在两点上都证明了这个疯子是正确的:-)

如需进一步阅读，请查看Corecursion 上的维基百科文章及其链接。如果您能亲身体验，Kees Doets 和 Jan van Eijck 撰写的 Haskell 逻辑、数学和编程之路的第 10 章可能值得一看。

【讨论】：

【解决方案6】：

他在破解 - 上面的函数显然是递归的。

【讨论】：

sepp2k: zipWith 是一个函数。
@Piet：问题在于fib 是否是递归函数，而不是zipWith 是否是。
sepp2k：问题是“下面的代码”是否是一个递归函数，显然是。 fib 仅指递归函数的结果这一点是题外话，并没有改变body是递归函数的事实。

【解决方案7】：

除了这里的 Haskell 实现之外，斐波那契数是由递归关系定义的序列。从数学上讲，每个项都被定义为前面项的函数。用数学语义打败他。

【讨论】：

虽然标准定义是递归关系，但任何给定的实现都可以使用封闭形式（即使这个没有），所以这不是实现问题的合理论据。跨度>

【解决方案8】：

要使 this 成为递归函数，它需要既是递归又是函数。正如 sepp2k 指出的那样，它显然是递归的，因为名称 fib 出现在 = 的两侧。也就是说，fib 是根据自身定义的。

它是一个函数吗？不是根据它的类型。在 haskell 中，我们将 0 参数函数称为“数据”。所以fib的这个定义创建了一个递归数据结构，而不是一个递归函数。

【讨论】：

fib 在这种情况下不是递归数据结构：“递归数据结构”在 Haskell 中意味着完全不同的东西。 fib 是由递归函数 (zipWith) 生成的无限、非重复（因此非递归）数据结构。

【解决方案9】：

虽然cmets中很多人都在争论这个定义是不是一个函数，但似乎大家都同意它是递归的。

对于函数/非函数参数，在 Haskell 中，从程序员的角度来看，它并不重要！因为函数和数据结构都是惰性求值的，所以一个值和一个没有参数返回值的函数是无法区分的。你所拥有的是一个整数列表，它被懒惰地和递归地评估。 fib 同时是“整数列表”、“返回整数列表的无参数函数”、“返回整数的无参数函数列表”和“返回整数列表的无参数函数”没有返回整数的参数”。

老实说，这并不重要。语言没有区分这四种。类型论没有区分这四种（以及无数其他方法：无参数返回其中任何一个的函数同样有效，无参数返回的函数也是如此，无穷无尽）。老实说，你是否称fib 为“函数”并没有什么区别。

但它是递归的。

【讨论】：