如何在没有类的情况下归纳证明类型相等？

Question

我试图证明类型级列表的关联性，这种方式允许我在等价类型之间进行转换，而无需携带任何约束。

假设连接的标准定义：

type family (++) (xs :: [k]) (ys :: [k]) :: [k] where
  '[] ++ ys = ys
  (x ': xs) ++ ys = x ': (xs ++ ys)

假设，给我一个函数：

given :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy ((a ++ b) ++ c)
given = Proxy  -- Proxy is just an example

我想调用这个函数然后使用关联性：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = given @k @a @b @c  -- Couldn't match type ‘(a ++ b) ++ c’ with ‘a ++ (b ++ c)’

这种类型相等确实不简单，所以编译器不理解它并不奇怪，但我可以证明它！不幸的是，我不知道如何让编译器相信我可以。

我自然的第一个想法是做这样的事情：

proof :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). (a ++ (b ++ c)) :~: ((a ++ b) ++ c)
proof = _

然后将我的功能更改为：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = case proof @k @a @b @c of Refl -> given @k @a @b @c

但我仍然需要定义proof，为此我需要对其类型参数执行归纳。我知道在 Haskell 中对类型进行归纳的唯一方法是定义一个类型类，但是我必须将相应的约束添加到 my 的类型中，这是我不想做的——事实它调用given 并强制结果是“实现细节”。

有没有什么方法可以在 Haskell 中证明这种类型相等而不求助于不安全的假设？

Answer 1

不，如果没有类型类约束，您无法证明这一点，因为它不正确。特别是，这里有一个反例：

Any ++ ([] ++ []) -- reduces to Any ++ []
(Any ++ []) ++ [] -- does not reduce

要排除Any 的（愚蠢）存在，您必须使用没有Any 实例的类型类；别无选择。