通过 DP 打印 mXn 矩阵从左上角到右下角的所有可能路径答案

【问题标题】：Print all possible paths from top left to bottom right of a mXn matrix by DP通过 DP 打印 mXn 矩阵从左上角到右下角的所有可能路径
【发布时间】：2023-03-26 00:41:01
【问题描述】：

我无法使用 Dynamic Programming 来“打印 mXn 矩阵左上角到右下角的所有可能路径”。在大多数站点中，我看到它是通过递归完成的，具有指数时间复杂度。任何人都可以为我提供任何参考或任何链接来为这个问题创建一个 c++ 程序...... 在任何步骤中，您只能在矩阵中向右或向下移动。正如我所说，我无法理解意味着我没有开始任何事情...... 谢谢。

【问题讨论】：

这个问题，作为大多数给人留下家庭作业转储的强烈印象的问题，缺乏关注你在自己尝试这个时遇到的特定编程问题。此外，要求在线资源是特别离题的。这是将其转变为可回答问题的帮助。 meta.stackoverflow.com/questions/334822/…
问题描述不够清楚。它假定所有可能的路径都不长于最短路径，不是吗？
你卡在哪里了？构建和运行 HelloWorld？扩展 HelloWorld 以获取 m 和 n 的输入？通过该矩阵输出任何路径？通过 1x1 矩阵输出所有路径？通过 2x1 矩阵输出所有路径？ 2×2？通过 (n+1) x m 矩阵输出所有路径？证明程序是动态编程而不是仅使用递归函数？
你能描述一下你卡在哪里了吗？这是作业问题吗？你试过什么吗？问题本身不完整 - 我可以从给定单元格向所有 8 个方向移动吗？

标签： c++ algorithm matrix dynamic

【解决方案1】：

由于您有指数路径，如果您必须打印所有路径，则无法从指数时间运行。另一方面，如果您只想计数，则可以做得更快。

打印所有路径的简单递归解决方案：

print_path(x, y, path){
    if(x == height && y == width) print(path)
    if(x < height) print_path(x + 1, y, path + (x, y))
    if(y < width)  print_path(x, y + 1, path + (x, y))

如果您只想计数，可以使用 DP。假设您从 (0,0) 开始并在 (2,2) 结束。首先要注意，当在 (2,i) 或 (i,2) 中时，您只有一种方法可以到达 (2,2)，它是直行的：

0 0 1
0 0 1
1 1 1

现在，对于从 (1,1) 开始的每个 0 元素，从那里开始到终点的路径数是其右侧单元格与底部单元格的总和：

0 0 1        0 0 1        0 3 1        6 3 1
0 2 1   =>   3 2 1   =>   3 2 1   =>   3 2 1
1 1 1        1 1 1        1 1 1        1 1 1

所以你的答案是 6。当你遍历矩阵的所有单元格时。复杂度为 O(n²)。虽然，您可以使用方阵总是对称的事实，并且 NxN 矩阵的最终值将是central binomial coefficient of N。这可以大大降低复杂性。例如，如果你的矩阵是 5x7，你可以推导出矩阵的所有对角线：

0  0 70  0  0  0  0
0  0  0 20  0  0  0
0  0  0  0  6  0  0
0  0  0  0  0  2  0
0  0  0  0  0  0  1

【讨论】：

【解决方案2】：

mXn 矩阵从左上角到右下角的路径由m-1 右移和n-1 下移的排列组成。

std::next_permutation 允许迭代排列

std::string path(n - 1, 'B');
path.resize(n - 1 + m - 1, 'R'); // path is sorted and would be {B, .., B, R, .., R}

do {
     std::cout << path << std::endl; // or any other way to print it
} while (std::next_permutation(s.begin(), s.end()));

Demo

【讨论】：