选择矩形以最大化面积

Question

我有一个任意大小的二维二进制矩阵。我想在这个矩阵中找到一组矩形，显示最大面积。约束是：

• 矩形只能覆盖矩阵中的“0”域，而不能覆盖“1”域。
• 每个矩形都必须与下一个矩形有一个给定的距离。

所以让我通过这个矩阵进一步说明这一点：

1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0

让两个矩形之间的最小距离为 1。因此，最佳解决方案是选择角为 (1,0)-(3,1) 和 (1,3)-(4,3) 的矩形。这些矩形是最小的。彼此分开 1 个字段，并且它们不位于“1”字段上。此外，此解决方案获得了最大面积 (6+4=10)。

如果最小距离为 2，则最佳距离为 (1,0)-(4,0) 和 (1,3)-(4,3)，面积为 4+4=8。

到目前为止，我已经找到了类似于这篇文章的矩形： Find largest rectangle containing only zeros in an N×N binary matrix

我将所有这些矩形保存在一个列表中：

list<rectangle> rectangles;

与

struct rectangle {
    int i,j; // bottom left corner of rectangle
    int width,length; // width=size in neg. i direction, length=size in pos. j direction
};

到目前为止，我只考虑过暴力破解方法，但当然，我对此并不满意。

希望你能给我一些提示和技巧，告诉我如何在我的list 中找到对应的矩形，希望你能清楚我的问题。

Answer 1

以下反例表明，即使对 最大面积 矩形的所有组合进行暴力检查也可能无法找到最佳值：

110
000
110

在上面的例子中，有 2 个最大面积的矩形，每个面积为 3，一个垂直，一个水平。您不能同时选择两者，因此如果您仅限于选择这些矩形的一个子集，那么您可以做的最好的事情是选择一个（其中一个），总面积为 3。但如果您选择了垂直 area-3 矩形，然后还取了仅由最左边的两个 0 组成的非最大 1x2 矩形，您可以获得更好的总面积 5。（这是最小间隔距离为 0 的情况；如果最小间隔距离为 1，如在您的自己的例子，那么你可以只选择最左边的 0 作为 1x1 矩形，总面积为 4，这仍然比 3 好。）

对于分隔距离为 0 的特殊情况，有一个简单的算法：您可以简单地在矩阵中的每个 0 上放置一个 1x1 矩形。当分离距离严格大于 0 时，我还没有看到快速算法，虽然我现在不太确定问题是 NP-hard 比几分钟前...