对动态规划中的两类子问题感到困惑

Question

首先我为我的英语不好而道歉。

最近我遇到了关于两种动态编程的一些令人困惑的事情。

在“最长公共子序列”问题中，如果 char 不相等，则我们取两个子问题之间的最大值。 另一方面“编辑距离”问题，如果字符不相等，那么我们至少需要三个子问题。

我的问题是为什么我们取三个子问题的最小值？
为什么我们不采取最少两个子问题，比如最长公共子序列？

Answer 1

选择的数量不同，因为这两个问题的性质不同。

对于Levenshtein distance（即您所指的编辑距离），三个选项对应于三个可能的操作。计算lev[i][j]时，对应子串a[1..i]和b[1..j]，如果是a[i] != b[j]，那么三个选择分别是：

• d[i][j-1]，将a[1..i] 转换为b[1..j-1]，然后插入 b[j]；
• d[i-1][j]，将a[1..i-1] 转换为b[1..j]，然后删除 a[i];
• d[i-1][j-1]，将a[1..i-1] 转换为b[1..j-1]，然后替换 a[i] 与b[j]。

如果您忽略第三个选项，那么您正在计算一个不同的编辑距离，一个只允许插入和删除的距离。这个编辑距离实际上与 LCS 问题紧密connected。具体来说，如果字符串的长度分别为m和n，那么这个受限的编辑距离将是

D = m + n - 2 * LCS(a, b)

这种等式成立，因为为了仅使用插入和删除将a 转换为b，您必须：

• 删除除 LCS 中的 a 的所有字符（因此 m - LCS(a,b) 操作）；
• 插入b 的所有字符，LCS 中的字符除外（因此n - LCS(a,b) 操作）。