查找顺序以便事件最早完成

Question

这是来自 informatica olympiad 的一个问题，我一直试图解决这个问题。这对我来说很重要，因为这包含一个我在很多问题中看到的潜在基本问题。

给 N 个公民参加一个活动，他们必须在一台计算机上编程，吃巧克力，然后吃甜甜圈。 time ，第 i 个公民为每个任务所花费的时间作为输入。每个公民必须按顺序完成任务，即先编程，然后吃巧克力，然后吃甜甜圈。任何数量的人一次都可以吃巧克力或甜甜圈，但由于计算机是一台，每次只有一个人可以编程。一次，他完成了，他会转向巧克力，下一个人将编程。任务是找出公民被派往编程的顺序，以使事件在最短的时间内结束，这个时间是输出。

我使用以下方法解决了这个问题： 如果我从第 i 个公民开始，那么对于剩下的 n-1 个公民，如果我找到时间 (tn-1) 则 tn = max((ni[0]+ni[1]+ni[2]), ni[0] + TN-1)。例如。： 18 7 6 23 10 27 20 9 14

然后 18+7+6, 18+23+10+27, 18+23+20+9+14, max 将是 84，但如果你从 23 开始，那么时间将是 74，这是更少的。

我实现了这种方法，我在这里展示它的代码。然而，对于我的方法来说，复杂度是 O(n!)。我可以看到潜在的重复子问题，所以我可以使用 DP 方法。但问题是我需要存储每个列表 i 到 j 的时间值，以便它可以以从 i 到 j 的任何 k 开头，依此类推。这个存储过程又会很复杂并且需要 n!贮存。如何解决这个问题和类似的问题？

这是我的方案：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

int min_time_sequence(std::vector<std::vector<int> > Info, int N)
{
    if (N == 0) return 0;
    if (N == 1)
    {
        int val = Info[0][0] + Info[0][1] + Info[0][2];
        return val;
    }
    std::vector<std::vector<int> > tmp = Info;
    int mn = INT_MAX;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        //prepare new list
        tmp.erase(tmp.begin()+i);
        int mn = min_time_sequence(tmp, N-1);
        int v1 = Info[i][0] + mn;
        int v2 = Info[i][0] + Info[i][1] + Info[i][2];
        int larger = v1 > v2 ? v1 : v2;
        if (mn > larger) mn = larger;
    }
    return mn;
}

int main()
{
    int N;
    std::cin>>N;
    std::vector<std::vector<int> > Info;
    //input
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        std::cin>>Info[i][0];
        std::cin>>Info[i][1];
        std::cin>>Info[i][2];
    }
    int mx = 0;
    if (N > 0)
        mx = min_time_sequence(Info, N);
    std::cout<<mx<<std::endl;
    return 0;
}

Answer 1

由于您询问了通用技术，您可能想查看贪婪算法，即反复优化下一个选择的算法。在这种情况下，可能是剩下的总时间最长（3次之和）的人下一个程序，所以他或她会更快地吃完饭，而晚开始的人不会花更多的时间。

如果这样的算法是最优的，程序可以简单地按时间总和以降序对列表进行排序，这需要 O(N log N) 时间。

但是，您需要证明您的解决方案是有效的。一种方法被称为“贪婪保持领先”。这是一个归纳证明，你可以证明你的贪心算法产生的解决方案在第一步至少是最优的（在某种程度上相当于最后一步的最优），然后它在第二步也一样好，之后的步骤，依此类推。提示：您可以尝试衡量每个人开始编程后事件可能需要多长时间的最坏情况。在最后一步，当最后一个人开始编程时，这相当于最优。

另一种证明算法最优的方法是“通过交换证明”。这是一种矛盾的证明形式，您假设某些不同的解决方案是最佳的，然后您表明将该解决方案的一部分与您的解决方案的一部分交换可以改进所谓的最佳解决方案。这与它曾经是最优的假设相矛盾——这证明没有其他解决方案比这更好。所以：假设最佳顺序不同，这意味着最后一个完成的人在其他花费更少时间的人之后开始。如果这两个人的位置互换会怎样？

贪婪的解决方案并不总是最好的，因此如果它们不是最好的，您可能需要考虑其他技术，例如对称破坏和尽早修剪搜索树。