具有边缘情况的整数绕组数算法

Question

我想要关于一个点的封闭分段线性路径（例如多边形）的winding number，但此外，我想检测路径何时通过该点。出于这个原因，我将标准绕组数加倍。对于逆时针方向的非相交多边形，该值为：

• 0 如果点在多边形之外
• 如果点在多边形的边或顶点上，则为 1
• 2 如果点在多边形内部

在其他情况下也是如此。 （编辑：image of a few examples）

当点位于边或顶点时，我发现的每个算法都会失败。

我的另一个要求是，当所有输入（即点的坐标和路径的顶点）都是整数时，它必须给出完全正确的结果。所以这几乎排除了三角函数或平方根，并且必须小心使用除法。

我确实不需要处理具有两个连续重合点或 180 度转弯的退化路径。

无论如何，我想我有一个解决方案。但是，它似乎有点不雅，我不确定它是否正确。 （当点位于顶点时，我真的很困惑自己会发生什么。）这是在 python 中：

def orient((x,y), (a0,b0), (a1,b1)):
    return cmp((a1-a0)*y + (b0-b1)*x + a0*b1-a1*b0, 0)
def windingnumber(p0, ps):
    w, h = 0, [cmp(p, p0) for p in ps]
    for j in range(len(ps)):
        i, k = (j-1)%len(ps), (j+1)%len(ps)
        if h[j] * h[k] == -1:
            w += orient(p0, ps[j], ps[k])
        elif h[j] == 0 and h[i] == h[k]:
            w += orient(ps[k], ps[i], ps[j])
    return w

Link to a version with comments and unit tests.

我想要一个正确算法的链接，或者我的算法正确的一些确认，或者我的算法失败的测试用例。谢谢！

Answer 1

问题是你的假设是错误的。

没有为轮廓上的点定义缠绕数。 （特别是积分没有很好的定义）。

如果你两次走同一条路，你会得到两倍的绕组数。因此，如果您假设如果点在计数上，数字将为 1 是正确的，那么这实际上意味着如果您去一次，则绕组数是 1/2，但这显然是错误的，因为绕组数总是一个整数。