使用 Numba 使四个嵌套的 for 循环更快

Question

我对使用 Numba 有点陌生，但我明白了它的要点。我想知道是否有任何更高级的技巧可以使四个嵌套的for 循环比我现在拥有的更快。特别是，我需要计算以下积分：

其中 B 是一个二维数组，S0 和 E 是某些参数。我的代码如下：

import numpy as np
from numba import njit, double

def calc_gb_gauss_2d(b,s0,e,dx):
    n,m=b.shape
    norm = 1.0/(2*np.pi*s0**2)
    gb = np.zeros((n,m))
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for ii in range(n):
                for jj in range(m):
                    gb[i,j]+=np.exp(-(((i-ii)*dx)**2+((j-jj)*dx)**2)/(2.0*(s0*(1.0+e*b[i,j]))**2))
            gb[i,j]*=norm
    return gb

calc_gb_gauss_2d_nb = njit(double[:, :](double[:, :],double,double,double))(calc_gb_gauss_2d)

对于大小为256x256的输入数组，计算速度为：

In [4]: a=random.random((256,256))

In [5]: %timeit calc_gb_gauss_2d_nb(a,0.1,1.0,0.5)
The slowest run took 8.46 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1 loop, best of 3: 1min 1s per loop

纯 Python 和 Numba 计算速度的比较给我这张图：

有什么方法可以优化我的代码以获得更好的性能？

Answer 1

通过使用 numpy 和一些数学，可以加速您的代码，因此它比当前的 numba 版本快一个数量级。我们还将看到，在改进后的功能上使用 numba 会使其更快。

numba 经常被过度使用——通常可以编写非常有效的纯 numpy 代码——这也是这里的情况。

手头的 numpy 代码存在一个问题：不应访问单个元素，而应利用 numpy 的内置函数——它们在大多数情况下都尽可能快。只有在无法使用这些 numpy 函数时，才会使用 numba 或 cython。

然而，这里最大的问题是问题的表述。对于固定的i 和j，我们有以下公式来计算（我简化了一点）：

 g[i,j]=sum_ii sum_jj exp(value_ii+value_jj)
       =sum_ii sum_jj exp(value_ii)*exp(value_jj)
       =sum_ii exp(value_ii) * sum_jj exp(value_jj)

要评估最后一个公式，我们需要 O(n+m) 操作，但对于第一个，朴素的公式 O(n*m) - 完全不同！

利用 numpy 功能的第一个版本可能类似于：

def calc_ead(b,s0,e,dx):
    n,m=b.shape
    norm = 1.0/(2*np.pi*s0**2)
    gb = np.zeros((n,m))
    vI=np.arange(n)
    vJ=np.arange(m)
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            II=(i-vI)*dx
            JJ=(j-vJ)*dx
            denom=2.0*(s0*(1.0+e*b[i,j]))**2
            expII=np.exp(-II*II/denom)
            expJJ=np.exp(-JJ*JJ/denom)
            gb[i,j]=norm*(expII.sum()*expJJ.sum())
    return gb

现在，与最初的 numba 实现相比：

>>> a=np.random.random((256,256))

>>> print(calc_gb_gauss_2d_nb(a,0.1,1.0,0.5)[1,1])
15.9160709993
>>> %timeit -n1 -r1 calc_gb_gauss_2d_nb(a,0.1,1.0,0.5)
1min 6s ± 0 ns per loop (mean ± std. dev. of 1 run, 1 loop each)

现在是 numpy 函数：

>>> print(calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)[1,1])
15.9160709993
>>> %timeit -n1 -r1 calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)
1.8 s ± 0 ns per loop (mean ± std. dev. of 1 run, 1 loop each)

有两个观察结果：

1. 结果是一样的。
2. numpy 版本快 37 倍，对于更大的问题，这种差异会变得更大。

显然，您可以利用 numba 来实现更大的加速。但是，在可能的情况下使用 numpy 功能仍然是一个好主意 - 令人惊讶的是，最简单的事情可以多么微妙 - 例如甚至 calculating a sum:

>>> nb_calc_ead = njit(double[:, :](double[:, :],double,double,double))(calc_ead)
>>>print(nb_calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)[1,1])
15.9160709993
>>>%timeit -n1 -r1 nb_calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)
587 ms ± 0 ns per loop (mean ± std. dev. of 1 run, 1 loop each)

还有一个因素 3！

这个问题可以并行化，但要做到这一点并非易事。我的廉价尝试使用explicit loop parallelization：

from numba import njit, prange
import math

@njit(parallel=True)                 #needed, so it is parallelized
def parallel_nb_calc_ead(b,s0,e,dx):
    n,m=b.shape
    norm = 1.0/(2*np.pi*s0**2)
    gb = np.zeros((n,m))
    vI=np.arange(n)
    vJ=np.arange(m)
    for i in prange(n):             #outer loop = explicit prange-loop
        for j in range(m):
            denom=2.0*(s0*(1.0+e*b[i,j]))**2
            expII=np.zeros((n,))
            expJJ=np.zeros((m,))
            for k in range(n):
                II=(i-vI[k])*dx
                expII[k]=math.exp(-II*II/denom)

            for k in range(m):
                JJ=(j-vJ[k])*dx
                expJJ[k]=math.exp(-JJ*JJ/denom)
            gb[i,j]=norm*(expII.sum()*expJJ.sum())
    return gb

现在：

>>> print(parallel_nb_calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)[1,1])
15.9160709993
>>> %timeit -n1 -r1 parallel_nb_calc_ead(a,0.1,1.0,0.5)
349 ms ± 0 ns per loop (mean ± std. dev. of 1 run, 1 loop each)

几乎意味着另一个因素 2（我的机器只有两个 CPU，取决于硬件，加速可能更大）。顺便说一句，我们的速度比原始版本快了近 200 倍。

我打赌可以改进上面的代码，但我不会去那里。

---

列出与calc_ead 比较的当前版本：

import numpy as np
from numba import njit, double

def calc_gb_gauss_2d(b,s0,e,dx):
    n,m=b.shape
    norm = 1.0/(2*np.pi*s0**2)
    gb = np.zeros((n,m))
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for ii in range(n):
                for jj in range(m):
                    gb[i,j]+=np.exp(-(((i-ii)*dx)**2+((j-jj)*dx)**2)/(2.0*(s0*(1.0+e*b[i,j]))**2))
            gb[i,j]*=norm
    return gb

calc_gb_gauss_2d_nb = njit(double[:, :](double[:, :],double,double,double))(calc_gb_gauss_2d)