这是一个我一直坚持的家庭作业问题。
考虑无符号整数表示。会有多少位 需要存储包含以下内容的十进制数：
i) 3 digits ii) 4 digits iii) 6 digits iv) n digits
我知道无符号整数的范围是 0 到 2^n，但我不明白表示数字所需的位数如何取决于它。请帮帮我。
提前致谢。
【问题讨论】：
标签： decimal unsigned unsigned-integer
好吧，您只需计算每种情况的范围并找到高于该范围的 2 的最低幂。
例如，在 i) 中，3 个十进制数字 -> 10^3 = 1000 个可能的数字，因此您必须找到高于 1000 的 2 的最小幂，在本例中为 2^10 = 1024 (10位）。
编辑：基本上你需要用你所拥有的位数找到可能的数字的数量，然后找到哪个位数（在另一个基数中，在这种情况下，基数为 2，二进制）至少具有与十进制相同的可能数字。
计算给定位数的可能性数量：possibilities=base^ndigits
因此，如果您有 3 位十进制数（以 10 为基数），您就有10^3=1000 的可能性。然后你必须找到一些二进制数（位，以 2 为底），这样可能性的数量至少为 1000，在本例中为 2^10=1024（9 位是不够的，因为 2^9=512 更少超过 1000)。
如果你概括一下，你有：2^nbits=possibilities <=> nbits=log2(possibilities)
应用于 i) 给出：log2(1000)=9.97 并且由于位数必须是整数，因此您必须将其四舍五入到 10。
【讨论】：
floor(log2(n)) + 1，否则例如1024 的结果为 10，这是错误的。 Wikipedia link
存储n个整数（例如0到n - 1）所需的二进制位数的公式为：
然后四舍五入。
例如，对于值 -128 到 127（有符号字节）或 0 到 255（无符号字节），整数的个数为 256，因此 n 为 256，由上式给出 8 .
对于0到n，在上式中使用n + 1（有n + 1整数）。
在您的计算器上，loge 可能只是标记为 log 或 ln（自然对数）。
【讨论】：
以 b 为底的 n 位数字可以表示的最大数是 bn - 1。因此，可以用 N 个二进制数表示的最大数是 2N - 1。我们需要最小的整数 N 使得：
2N - 1 ≥ bn - 1
⇒ 2N ≥ bn
取最后一个表达式两边的以 2 为底的对数给出：
log2 2N ≥ log2 bn
⇒ N ≥ log2 bn
⇒ N ≥ log bn / log 2
由于我们想要满足最后一个关系的最小整数N，要找到N，找到log bn / log 2 拿下天花板。
在最后一个表达式中，对数的任何底都可以，只要两个底相同。这里很方便，因为我们对 b = 10 的情况感兴趣，因此可以利用 log1010n == n.
对于 n = 3：
N = ⌈3 / log10 2⌉ = 10
对于 n = 4：
N = ⌈4 / log10 2⌉ = 14
对于 n = 6：
N = ⌈6 / log10 2⌉ = 20
一般来说，对于 n 个十进制数字：
N = ⌈n / log10 2⌉
【讨论】：
log有时意味着log<sub>e</sub>或ln；我在较早的数学参考文本中特别注意到了这一点。
可以通过这种方式来概括您需要多少位来表示一个数字的技术。你有 R 个符号来表示，你想知道有多少位，求解这个方程 R=2^n 或 log2(R)=n。其中 n 是位数，R 是表示的符号数。
对于十进制数系统 R=9，所以我们求解 9=2^n，答案是每个十进制数字 3.17 位。因此，3 位数字需要 9.51 位或 10 位。1000 位数字需要 3170 位
【讨论】：
假设问题是询问您存储所需的最小位数是多少
我对这个问题的回答是：
这个问题可以通过递归地将 999 除以 2 来解决。然而，使用数学的力量来帮助我们更简单。本质上，我们正在为以下等式求解 n：
2^n = 999
nlog2 = log999
n ~ 10
您需要 10 位来存储 3 位数字。
使用类似的方法解决其他子问题！
希望这会有所帮助！
【讨论】：
继续将数字除以 2，直到商为 0。
【讨论】：
最简单的答案是将所需的值转换为二进制，然后查看该值需要多少位。但是，该问题询问十进制 X 位数有多少位。在这种情况下，您似乎必须选择 X 位的最大值，然后将该数字转换为二进制。
作为一个基本示例，假设我们想要存储一个以 10 为基数的 1 位数字，并且想知道需要多少位。最大的 1 位以 10 为基数是 9，所以我们需要将其转换为二进制。这产生 1001，总共有 4 位。这个相同的示例可以应用于两位数（最大值为 99，转换为 1100011）。要解出 n 位数，您可能需要解出其他位数并搜索模式。
要将值转换为二进制，您需要反复除以 2，直到商为 0（所有余数均为 0 或 1）。然后，您反转余数的顺序以获得二进制数。
例如：13 到二进制。
希望这会有所帮助。
【讨论】：
让它所需的 n 位然后 2^n=(base)^digit 然后取日志并计数。对于n
【讨论】：
对于 n 位数的二进制数，它可以容纳的最大十进制值是
2^n - 1，而 2^n 是使用这些数字可以生成的总排列。
以你只想要三位数的情况为例，即你的情况1。我们看到要求是，
2^n - 1 >= 999
将日志应用到双方，
log(2^n - 1) >= log(999)
log(2^n) - log(1) >= log(999)
n = 9.964（大约）。
取 n 的 ceil 值，因为 9.964 不能是有效的位数，我们得到 n = 10。
【讨论】：
这里有很多答案，但我会添加我的方法，因为我在解决同样的问题时发现了这篇文章。
从我们这里知道的数字开始，从 0 到 16。
Number encoded in bits minimum number of bits to encode
0 000000 1
1 000001 1
2 000010 2
3 000011 2
4 000100 3
5 000101 3
6 000110 3
7 000111 3
8 001000 4
9 001001 4
10 001010 4
11 001011 4
12 001100 4
13 001101 4
14 001110 4
15 001111 4
16 010000 5
查看休息时间，它显示了这张表
number <= number of bits
1 0
3 2
7 3
15 4
那么，现在我们如何计算模式？
记住以 2 为底的对数 (n) = 以 10 为底的对数 (n) / 以 10 为底的对数 (2)
number logb10 (n) logb2 (n) ceil[logb2(n)]
1 0 0 0 (special case)
3 0.477 1.58 2
7 0.845 2.807 3
8 0.903 3 3 (special case)
15 1.176 3.91 4
16 1.204 4 4 (special case)
31 1.491 4.95 5
63 1.799 5.98 6
现在所需的结果与第一个表匹配。请注意，某些值也是特殊情况。 0 和任何 2 的幂数。当您应用上限时，这些值不会改变，因此您知道需要加 1 才能获得 最小位域长度。
为了解决特殊情况，请在输入中添加一个。在python中实现的结果代码是：
from math import log
from math import ceil
def min_num_bits_to_encode_number(a_number):
a_number=a_number+1 # adjust by 1 for special cases
# log of zero is undefined
if 0==a_number:
return 0
num_bits = int(ceil(log(a_number,2))) # logbase2 is available
return (num_bits)
【讨论】：
这个有效！
floor(loge(n) / loge(2)) + 1
要包含负数，您可以添加一个额外的位来指定符号。
floor(loge(abs(n)) / loge(2)) + 2
【讨论】：
简短的回答是：
int nBits = ceil(log2(N));
这仅仅是因为 pow(2, nBits) 比 N 略大。
【讨论】：