fzero 还是 fsolve ？不同的结果 - 谁是正确的？

Question

我有一个函数

b=2.02478;
g=3.45581;
s=0.6;
R=1;

p =@(r) 1 - (b./r).^2 - (g^-2)*((2/15)*(s/R)^9 *(1./(r - 1).^9 - 1./(r + 1).^9 - 9./(8*r).*(1./(r - 1).^8 - 1./(r + 1).^8)) -(s/R)^3 *(1./(r-1).^3 - 1./(r+1).^3 - 3./(2*r).*(1./(r-1).^2 - 1./(r+1).^2)));
options = optimset('Display','off');
tic
   r2 =  fzero(p,[1.001,100])
   toc
   tic
    r3 =  fsolve(p,[1.001,100],options)
  toc

答案

r2 =

    2.0198

Elapsed time is 0.002342 seconds.

r3 =

    2.1648    2.2745

Elapsed time is 0.048991 seconds.

哪个更可靠？ fzero 返回与 fsolve 不同的值

Answer 1

您应该始终查看函数的退出标志（或输出结构），尤其是当您的结果与预期不符时。

这是我得到的：

• fzero(func,[1.00001,100]):

  X = 4.9969
  FVAL
  EXITFLAG = 1 % fzero found a zero X.
  OUTPUT.message = 'Zero found in the interval [1.00001, 100]'
  

• fzero(func,1.1):

  X = 1
  FVAL = 8.2304e+136
  EXITFLAG = -5 % fzero may have converged to a singular point.
  OUTPUT.message = 'Current point x may be near a singular point. The interval [0.975549, 1.188] reduced to the requested tolerance and the function changes sign in the interval, but f(x) increased in magnitude as the interval reduced.'
  

退出标志的含义在matlab文档中有解释：

 1 Function converged to a solution x.
-5 Algorithm might have converged to a singular point.
-6 fzero did not detect a sign change.

因此，根据这些信息，很明显第一个给你的结果是正确的。

为什么fzero 失败

作为documented in the manual，fzero 通过查找符号变化来计算零：

尝试找到fun(x) = 0 所在的点x。此解决方案是 fun(x) 更改符号的地方 - fzero 无法找到函数的根，例如 x^2。

因此，X = 1 也是您的公式的解决方案，因为该位置的符号从 +inf 变为 -inf，如图所示：

请注意，如果可能，最好按照手册中的说明提供搜索范围：

以有限间隔调用fzero 保证fzero 将返回一个靠近FUN 更改符号的点的值。

提示：使用间隔调用fzero（使用两个元素的x0）通常比使用标量x0调用更快。

替代方案：fsolve

请注意，此方法是为求解多个非线性方程组而开发的。因此，它不如fzero 高效（在您的情况下慢约 20 倍）。 fzero 使用基于梯度的方法（有关更多信息，请查看 manual），这在某些情况下可能效果更好，但可能会陷入局部极值。在这种情况下，只要初始值大于 1，函数的梯度就会给出正确的方向。因此，对于这个特定的函数，fsolve 比具有单个初始值的fzero 更健壮，即@987654350 @ 返回预期值。

结论：一般情况下，如果可能，对单个变量使用fzero，而不是初始值，对多个变量使用fsolve。如果一种方法失败，您可以尝试另一种方法或另一个起点。

Answer 2

您可以在文档中阅读：

该算法由 T. Dekker 提出，结合使用二等分法、割线法和逆二次插值法。

因此，它对寻求解决方案的初始点和区域很敏感。因此，对于不同的初始值和范围，您会得到不同的结果。