包含所有子矩阵的最大非连续子矩阵

Question

我正在解决寻找一个布尔矩阵的非连续子矩阵的问题，该子矩阵具有最大尺寸，使得它的所有单元格都是一个。

例如，考虑以下矩阵：

M = [[1, 0, 1, 1],
     [0, 0, 1, 0],
     [1, 1, 1, 1]]

M 的非连续子矩阵被指定为一组行 R 和一组列 C。子矩阵由 R 中某行中的所有单元格和某些中的 C 中的列（R 和 C 的交叉点）。请注意，非连续子矩阵是子矩阵的泛化，因此任何（连续）子矩阵也是非连续子矩阵。

M 的一个最大非连续子矩阵在其所有单元格中都有一个。该子矩阵定义为 R={1, 3, 4} 和 C={1, 3}，产生：

M[1, 2, 4][1, 3] = [[1, 1, 1],
                    [1, 1, 1]]

我很难找到关于这个问题的现有文献。我正在寻找不一定需要最佳的有效算法（因此我可以将问题放宽到找到最大尺寸的子矩阵）。当然，这可以用整数线性规划建模，但我想考虑其他替代方案。

特别是，我想知道这个问题是否已经为人所知并被文献所涵盖，我想知道我对非连续矩阵的定义是否有意义，以及它们是否已经存在不同的名称。

谢谢！

Answer 1

由于根据您对 Josef Wittmann 评论的回复，您希望找到矩形覆盖数，我的建议是构建 Lovász-Saks 图并应用图着色算法。

Lovász–Saks 图对于矩阵中的每个 1 条目都有一个顶点，并且在其 2x2 矩阵包含零的每对顶点之间有一条边。在您的示例中，

[[1, 0, 1, 1],
 [0, 0, 1, 0],
 [1, 1, 1, 1]]

我们可以用字母标记1：

[[a, 0, b, c],
 [0, 0, d, 0],
 [e, f, g, h]]

然后得到边

a--d, a--f, b--f, c--d, c--f, d--e, d--f, d--h.

a b   a 0   0 b   b c   0 c   0 d   0 d   d 0
0 d   e f   f g   d 0   f h   e f   f g   g h

我认为最佳的颜色是

{a, b, c, e, g, h} -> 1
{d} -> 2
{f} -> 3.