如何优化使用循环为变量找到稳定值的算法

Question

我有一种情况，即在每次循环迭代时计算一个变量（在这种情况下为a），并在两次迭代之间的值增量足够小的地方停止。

我想知道在这种情况下找到该变量值的一般方法，而不必使用循环进行“收敛”工作。

我想知道解决方案是否是将所有内容放入方程式中，或者是否存在一些工具来解决这个问题。

a = 10
b = 10

diff = 1

while diff > .1:
    old_a = a
    a += b
    diff = 1 - (old_a/a)
    print(diff)

当前代码产生：

0.5
0.33333333333333337
0.25
0.19999999999999996
0.16666666666666663
0.1428571428571429
0.125
0.11111111111111116
0.09999999999999998

因此，需要 9 次迭代才能找到两次迭代之间a 值的相对差异小于 10%。

Answer 1

你有

a_n = a_0 + n * b

并尝试找到在哪里

1 - (a_(n-1) / a_n) 
= 1 - (a_0 + (n--1)*b) / ( a_0 + n * b) 
= 1 - (a_0 + n*b -b) / (a_0 + n*b) 
= 1 - 1 + b / (a_0 + n*b)
= b / (a_0 + n * b)
< 0.1

就是这样

(a_0 / b) + n * b / b
= (a_0 / b) + n
> 10

（因为 0.1 = 1 / 10 和 1/x > 1/y y > x 如果 x,y != 0）

由于您在 cmets 中提到您的实际问题更复杂：如果找到像上面这样的封闭形式解决方案不可行，请查看 this wikipedia page about fixed point iteration，这正是您尝试解决的问题。