为什么 2 ^ 3 ^ 4 = 0 在 Julia 中？

Question

我刚从 Quora 上看到一篇文章： http://www.quora.com/Is-Julia-ready-for-production-use

在底部，有一个答案说：

2 ^ 3 ^ 4 = 0

我自己试过了：

julia> 2 ^ 3 ^ 4
0

我个人认为这不是语言中的错误。为了清楚起见，我们可以为 Julia 和我们人类添加括号：

julia> (2 ^ 3) ^ 4
4096

到目前为止一切顺利；但是，这不起作用：

julia> 2 ^ (3 ^ 4)
0

由于我正在学习，我想知道，Julia 如何将此表达式评估为 0？评价先例是什么？

julia> typeof(2 ^ 3 ^ 4)
Int64

Answer 1

我很惊讶我在 SO 上找不到关于这个的重复问题。我想我的回答与the FAQ in the manual 略有不同，因为这是一个常见的第一个问题。 糟糕，我不知何故错过了：Factorial function works in Python, returns 0 for Julia

假设您学过加法和乘法，但从未学过任何高于 99 的数字。就您而言，根本不存在比这更大的数字。所以你学会了将一个带入十列，但你甚至不知道你将携带十位的那一列叫什么。所以你把它们扔掉。只要你的数字永远不会超过 99，一切都会好起来的。一旦你超过 99，你就会回到 0。所以 99+3 ≡ 2 (mod 100)。和 52*9 ≡ 68 (mod 100)。任何时候你用超过两个 10 的因数进行乘法运算，你的答案都是零：25*32 ≡ 0 (mod 100)。现在，在你每次计算之后，有人可能会问你“你超过 99 了吗？”但这需要时间来回答……时间可以用来计算你的下一个数学问题！

这实际上是计算机在本机进行算术运算的方式，除了它们以 64 位二进制进行运算。您可以使用bits 函数查看各个位：

julia> bits(45)
"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000101101"

当我们将其乘以 2 时，101101 将向左移动（就像十进制乘以 10）：

julia> bits(45 * 2)
"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000001011010"
julia> bits(45 * 2 * 2)
"0000000000000000000000000000000000000000000000000000000010110100"
julia> bits(45 * 2^58)
"1011010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"
julia> bits(45 * 2^60)
"1101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

……直到它开始从末端掉下来。如果将 64 个以上的二相乘，则答案将始终为零（就像上面示例中将两个以上的十相乘一样）。我们可以询问计算机是否溢出，但默认情况下，每次计算都有some serious performance implications。所以在 Julia 中你必须是明确的。您可以要求 Julia 在特定乘法后进行检查：

julia> Base.checked_mul(45, 2^60) # or checked_add for addition
ERROR: OverflowError()
 in checked_mul at int.jl:514

或者您可以将其中一个参数提升为 BigInt：

julia> bin(big(45) * 2^60)
"101101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

在您的示例中，当您使用大整数运算时，您可以看到答案是 1 后跟 81 个零：

julia> bin(big(2) ^ 3 ^ 4)
"1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"

更多详情，请参阅常见问题解答：why does julia use native machine integer arithmetic?