基于多变量的成本优化

Question

所以我有一个我正在尝试优化的场景。这纯粹是轶事，我需要有关有助于解决问题的理论和考虑的指导：

假设我们有 4 家公司 (A-D) 为更大的公司提供劳动力。每家公司在 1 到 100 的范围内独立地对可用劳动力的生产力进行评分（A 公司的 60 分可能是 B 公司的 30 分，等等......）。每家公司还提供与生产力分数无关的劳动力率（此列表中可能有高成本、低产量的工人，反之亦然）。

这家大公司的问题是，它想制定一个多年计划，从 4 个名单中选择工人。他们必须最大限度地减少预算误差（允许一些过度/不足的支出，但不能太多），最大限度地提高每年的生产力（首先选择更高产量的工人），并最大限度地减少公司之间的差异（所有公司的薪酬接近相等）数量）。一旦选择了一个工人，它就会从列表中删除。

这看起来像是一个非线性优化问题，但我不确定具体的理论、算法等。这可以用来解决这个问题。任何方向或起点将不胜感激。

Answer 1

我认为这可以表述为线性混合整数规划 (MIP) 模型。

这是我的模型：

连续变量是非负的。

让我们用一些数据来试试这个。

----     34 PARAMETER cost  rate

              A           B           C           D

p1       58.587      92.163      77.519      65.057
p2       64.611      61.203      67.492      92.814
p3       53.356      75.011      99.906      78.937
p4       99.557      88.113      56.535      81.986
p5       57.976      62.504      83.446      71.768
p6       67.985      67.572      56.575      57.505
p7       79.456      91.545      61.541      83.287
p8       88.793      65.183      55.525      75.119
p9       58.009      93.623      63.256      64.291
p10      79.698      86.136      81.412      73.190
p11      70.665      55.885      65.711      52.328
p12      66.928      59.105      82.286      78.037
p13      88.498      64.890      83.055      87.791
p14      81.372      64.193                  54.321
p15      55.126      82.063                  77.265
p16                  51.576                  89.618
p17                  53.638                  58.783
p18                  76.282


----     34 PARAMETER budget               =     2500.000  available budget
            PARAMETER w1                   =        1.000  weight for budget error
            PARAMETER w2                   =        2.000  weight for range in amounts

我在这里假设人 p 是按生产力排序的：p1 是最有生产力的。

当我求解模型时，结果如下：

----     89 PARAMETER costreport  

                    A           B           C           D        cost

p1             58.587      92.163      77.519      65.057
p2             64.611      61.203      67.492      92.814
p3             53.356      75.011      99.906      78.937
p4             99.557      88.113      56.535      81.986
p5             57.976      62.504      83.446      71.768
p6             67.985      67.572      56.575      57.505
p7             79.456      91.545      61.541      83.287
p8             88.793      65.183      55.525      75.119
p9             58.009                  63.256
total         628.328     603.293     621.793     606.472    2459.886
budget                                                       2500.000
budgeterr                                                      40.114
min                                                           603.293
max                                                           628.328
range                                                          25.036

我们可以看到总成本为 2459.886，这意味着与预算的偏差约为 40。在每家公司上花费的金额范围为 25（范围是最大值减去最小值）。另外，请注意，人员是根据他们的顺序选择的（请记住，我们通过降低生产力对用户进行排序）。

这是一个简单的 MIP 模型，可以用任何 MIP 求解器求解。