证明递归函数的上限复杂度？

Question

我很困惑如何使用数学归纳法来证明使用递归关系的递归函数的大 O。

示例：

递归实现河内塔的递归关系是 T(n) = 2T(n-1) + 1
和 T(1) = 1。我们声称这种递归方法是 O(n) = 2n - 1。使用数学归纳法证明这一说法。

在递归的情况下，我是否总是假设 n = k-1，而不是 n = k？这是讲义给出的假设。

假设 f(n-1) = 2^(n-1) - 1 为真。

我理解非递归数学归纳法我们假设 n = k，因为它只是变量的变化。那么，为什么假设 n = k - 1 是安全的？

Answer 1

一种可能的方法：为T 假设一个非递归公式并证明它。之后，表明你找到的公式在你想要的大 O 中。

为了证明，您可以使用归纳法，在这种情况下它既快速又简单。为此，您首先要证明您的公式适用于第一个值（通常是 0 或 1，在您的示例中是 1 和微不足道的）。

然后你证明如果它适用于任何数字n - 1，它也适用于它的继任者n。为此，您使用T(n) 的定义（在您的示例中为T(n) = 2 T(n - 1) + 1）：您知道您的formla 适用于n - 1，您可以用您的公式替换T(n - 1) 的出现。在您的示例中，您将得到（使用公式T(n) = 2^n - 1）

T(n) = 2T(n - 1) + 1
     = 2(2^(n - 1) - 1) + 1
     = 2^n - 2 + 1
     = 2^n + 1

如您所见，如果我们假设它适用于 n - 1，它适用于 n。

现在是归纳技巧：我们证明了我们的公式适用于n = 1，并且我们证明了如果它适用于任何n = k - 1，它也适用于k。也就是说，正如我们为1 所证明的那样，它也为2 所证明。正如 2 所证明的那样，它也被 3 所证明。事实上……

因此，在我们的证明中，我们不假设 n - 1 的术语是正确的，我们只是在假设它是正确的情况下做出了陈述，然后针对一个初始情况证明了我们的公式，并使用了归纳法。