我怎样才能找到这个算法的时间复杂度？

Question

fun xpto(n: Int, m: Int): Int {
    return if (n / m == 0) 0 else 1 + xpto(n / m, m)
}

m 如何影响时间复杂度？我的第一个想法是 O(n)，但我不确定。

Answer 1

此函数将第一个参数除以第二个参数，并再次将该商用作下一次调用的第一个参数，只要该商不为零。对于正整数，递归调用的次数因此等于最大幂?使得

     ? / ?^? >= 1，或

      ? >= ?^?

因此递归调用的次数?是

     ? = _⌊log_??_⌋

这也是函数将返回的值，因为每次递归调用都会将 1 添加到递归返回的结果中。

时间复杂度

假设我们可以将除法视为常数时间运算，因此我们的时间复杂度为 O(log?)。 ? 的值（即对数的底）与大 O 表示法无关，因为它提供了 upper bound。请注意对于给定的 ? 值，增加（绝对）的 ? 值如何不会增加算法所花费的时间。

但是，我们可以在大 ? 和 ? 的类别中降低渐近上限。例如，在 ?

以下所有时间复杂度表达式都适用于该算法：

• 渐近上界：O(log?)

• 渐近下界：Ω(1)

• 渐近紧界：ϴ(log_??)

负输入

参数的符号没有影响，因为递归调用的数量只取决于两个参数的绝对值。

如果至少有一个参数是负数，我们还必须假设整数除法（在实际编程语言中）将向零舍入，否则算法可能进入无限递归，总是产生-1的商。

限制

• ? 应该不为零，否则会出现除零异常。
• abs(?) 不应为 1，因为当 ? 非零时，这将导致无限递归。有关相关讨论，请参阅 log base 1 of 1。