Gurobi：原始的客观价值不等于对偶（运输问题）答案

【问题标题】：Gurobi: Objective Value of Primal not equal to dual (transportation problem)Gurobi：原始的客观价值不等于对偶（运输问题）
【发布时间】：2022-02-05 17:38:21
【问题描述】：

使用解决方案here 解决模型的运输问题：

m = Model("transport_problem_2")
flow = {}
for c in cities:
    for b in bases:
        flow[c,b] = m.addVar(obj=distance[c,b], name='flow_%s_%s' %(c,b))
m.update()
for c in cities:
    m.addConstr(quicksum(flow[c,b] for b in bases) <= supply[c], 'supply_%s' %(c))
for b in bases:
    m.addConstr(quicksum(flow[c,b] for c in cities) >= demand[b], 'demand_%s' %(b))
m.optimize()

为了练习，我在 Gurobi 中编写了上述程序的对偶：

m_dual = Model("transport_problem_2_dual")


alpha = m_dual.addVars(cities,name='alpha')
beta = m_dual.addVars(bases,name='beta')

m_dual.setObjective(alpha.prod(supply)+beta.prod(demand), GRB.MAXIMIZE)
m_dual.addConstrs((alpha[c] + beta[b] <= distance[c,b] for c,b in arcs), 'alpha_beta')
m_dual.optimize()

不幸的是，即使对偶是正确的，两个最优目标值也不同。（我使用 m_dual.display() 手动检查了它）。有人知道为什么吗？我认为Strong Duality Theorem 保证了这个属性，因为两个目标值都是最优的。

编辑：为了使对偶 LP 工作，我必须正确绑定对偶中的变量（正如答案所指出的那样）

alpha = m_dual.addVars(cities,name='alpha',lb=-GRB.INFINITY)

【问题讨论】：

标签： optimization linear-programming gurobi

【解决方案1】：

我认为对偶公式中的变量可能存在符号错误。这是我用过的：

【讨论】：