返回可能组合数的递归函数

Question

我参加了一次面试，并被问到一个我想了解解决方案的问题。

问题

创建一个递归函数，该函数返回给定长度的数组的可能组合数，该数组可以由非重复连续整数数组组成。

f(array, length) = 组合

示例 1

• 数组 = [0,1,2,3]
• 长度 = 2
• 组合 = 10（所有组合：[0,0] [0,1] [0,2] [0,3] [1,1] [1,2] [1,3] [2,2] [2,3] [3,3])
• 请注意，[0,0] 是允许的，但 [1,0] 不允许，因为 [0,1] 已定义

示例 2

• 数组 = [0,1]
• 长度 = 3
• 组合 = 4（所有组合：[0,0,0] [0,0,1] [0,1,1] [1,1,1]）

提供了一个“提示”。面试官说阵列本身不重要；长度就足够了。

Answer 1

该算法可以递归表示，因为解决方案可以用较小输入的解决方案来表示。这里的“小”有两层含义：

• 数组的一个子集；特别是当前元素索引之后的子数组

• 较小长度的解决方案；这些可以加在一起得到长度+ 1的解决方案

停止条件：

• 当数组大小A = 1时-只能生成一种组合

• 当长度L = 1-组合数=数组元素数时

完全递归的过程是一个非常简单的单行：

return [recursive call to rest of array, same length] + 
       [recursive call to same array, length - 1]

这称为动态规划。

代码：

int F(int A, int L)
{
    if (A <= 1) return 1;
    if (L <= 1) return A;
    return F(A - 1, L) + F(A, L - 1);
}

测试：

• F(4, 2) = 10
• F(2, 3) = 4
• F(3, 5) = 21（用纸笔描一下，自己看看）

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编辑：我给出了一个优雅而简单的解决方案，但我可能没有像@RoryDaulton 那样解释它。考虑也给予他的回答。

Answer 2

您没有提供目标语言，也没有说您需要多少帮助。因此，如果您知道某种语言的递归，我将给出一个应该易于编码的算法的总体概念。询问您是否需要更多 Python 代码，这是我目前的首选语言。

您知道您需要进行递归，并且您有两件事可以递归：给定数组的长度或所需数组的长度。让我们递归第二个，假设给定的数组是[0, 1, ..., n-1]，因为你知道实际的内容是不相关的。

如果所需的长度r 是1，您知道只有n 所需的数组，即[0]、[1]、...、[n-1]。所以有你的递归的基本情况。

如果您有一个长度为r-1 的“组合”，如何将其扩展为长度r 并保持要求？查看长度为r-1 的数组中的最后一个元素——我们称之为k。下一个元素不能小于该值，因此所有可能扩展到长度r 的数组都是r-1 数组加上k', 'k+1，...，n-1。这些是 n-k 长度为 r 的数组。

是否清楚如何编码？请注意，您不需要保留所有长度为r-1 的数组，您只需要计算以元素0 或1 或...n-1 结尾的数组的数量。这使得编码很方便——不需要太多的内存。事实上，事情还可以进一步减少——我将把它留给你。

请注意，面试官可能不想要代码，他希望你的思维过程导致代码看到你的思维方式。这是思考问题的一种方式。