最小化距离的旋转矩阵

Question

假设我在 3D 空间中有两个点（a 和 b）和一个称为 n 的固定轴/单位向量。

我想创建一个旋转矩阵，以最小化点 a（未旋转）和旋转点 b 之间的欧几里得距离。

例如：

 Q := matrix_from_axis_and_angle (n, alpha);

 find the unknown alpha that minimizes sqrt(|a - b*Q|)

顺便说一句 - 如果使用单位四元数可以更轻松地表达解决方案/算法，请继续使用它们。我只是使用矩阵来表达我的问题，因为它们使用更广泛。

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哦 - 我知道有一些退化的情况（a 或 b 完全符合 n ect。）这些可以忽略。我只是在寻找可以计算单个解决方案的情况。

Answer 1

听起来很简单。假设单位向量 n 意味着围绕通过点 x0 的平行于 n 的线旋转。如果 x0 != 原点，将坐标系平移 -x0 以获得相对于新坐标系原点 0 的点 a' 和 b'，并使用这两个点代替 a 和 b。

1) 计算向量 ry = n x a

2) 计算单位向量 uy = 方向 ry 上的单位向量

3) 计算单位向量ux = uy x n

您现在有一个三元组的相互垂直的单位向量 ux、uy 和 n，它们形成了一个右手坐标系。可以证明：

 a = dot(a,n) * n  +  dot(a,ux) * ux

这是因为单位向量 uy 平行于 ry，ry 垂直于 a 和 n。 （从第 1 步开始）

4) 沿单位向量 ux, uy 计算 b 的分量。 a 的组件是 (ax,0)，其中 ax = dot(a,ux)。 b 的组件是 (bx,by)，其中 bx = dot(b,ux)，by = dot(b,uy)。由于是右手坐标系，所以 ax 始终为正，因此您实际上不需要计算它。

5) 计算 theta = atan2(by, bx)。

您的旋转矩阵是相对于坐标系 (ux,uy,n) 围绕 n 轴旋转角度 -theta 的矩阵。

如果 a 与 n 平行（步骤 1 和 2）或 b 与 n 平行（步骤 4、5），这会产生退化的答案。

Answer 2

我认为您可以将问题改写为：

点到 3d 空间中的 2d 圆的距离是多少。

可以在here找到答案

所以需要的步骤如下：

• 围绕向量 n 旋转点 b 会在 3d 空间中为您提供一个 2d 圆
• 使用上述方法，找出到该圆（以及圆上的点）的距离
• 圆上的点就是您要查找的旋转点 b。
• 推导出旋转角度

...或者什么;^)

Answer 3

当a到n线的向量与b到n线的向量对齐时，距离将最小化。

将 a 和 b 投影到垂直于 n 的平面中，并在二维中求解问题。您到达那里的旋转是最小化距离所需的旋转。

Answer 4

令 P 为垂直于 n 的平面。 我们可以找到 a 在 P 平面中的投影，（对于 b 也是如此）：

a' = a - (dot(a,n)) n 
b' = b - (dot(b,n)) n 

其中 dot(a,n) 是 a 和 n 的点积

a' 和 b' 位于 P 平面内。

我们现在已将问题简化为二维。耶！

a'和b'之间的（旋转）角度等于b绕n轴摆动以最接近a所需的（旋转）角度。 （想想 b 会投射在 P 平面上的阴影）。

a'和b'之间的夹角很容易找到：

dot(a',b') = |a'| * |b'| * cos(theta)

求解θ。

现在你可以在这里找到给定 theta 和 n 的旋转矩阵： http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Jason S 正确地指出，一旦你知道了 theta，你仍然必须决定将 b 绕 n 轴顺时针或逆时针旋转。

如果 (a x b) 与 n 的方向相同，则 dot((a x b),n) 为正数，如果 (a x b) 与 n 方向相反，则为负数。 （只要 a 和 b 都不与 n 共线，它就永远不会为零。）

如果 (a x b) 与 n 方向相同，则 b 必须绕 n 轴顺时针旋转角度 theta。

如果 (a x b) 位于相反方向，则 b 必须绕 n 轴顺时针旋转角度 -theta。