生成与任意维度上的一组其他向量正交的向量答案

【问题标题】：Generate a vector that is orthogonal to a set of other vectors in any dimension生成与任意维度上的一组其他向量正交的向量
【发布时间】：2018-06-03 04:45:10
【问题描述】：

假设我有一组向量 $ a_1, ..., a_d $ 彼此正交。现在，我想找到另一个与所有其他向量正交的向量 $ a_{d+1} $。

是否有有效的算法来实现这一点？我只能想到在最后加一个随机向量，然后应用gram-schmidt。
是否有一个 python 库已经实现了这一点？

【问题讨论】：

为什么不能取所有向量的一般wege积？如果它们都是n维，并且你有n-1个，那么你可以取所有它们的叉积得到最后一个正交向量
其实很好……没想到。对于任何类型的向量都是如此吗？另外，如果我有“n-2”个向量，但有“n”个维度，是否也可以？
取叉积并不是 gram schmidt 的工作原理
我知道...但是，modesitt 的观点很容易找到第 n 个正交向量，因为您有 n-1 个向量

标签： python matrix orthogonal

【解决方案1】：

Related。不能说最优，但这是一个可行的解决方案。好消息是 numpy.linalg 完成了所有繁重的工作，因此这可能比手动执行 Gram-Schmidt 更快、更健壮。此外，this 表明复杂度并不比 Gram-Schmidt 差。

想法：

将输入正交向量视为矩阵O 的列。
向O 添加另一个随机列。通常O 将保持一个满秩矩阵。
选择b = [0, 0, ..., 0, 1] 和len(b) = d + 1。
解决最小二乘问题x O = b。然后，x 保证为非零且与O 的所有原始列正交。

import numpy as np
from numpy.linalg import lstsq
from scipy.linalg import orth

# random matrix
M = np.random.rand(10, 5)

# get 5 orthogonal vectors in 10 dimensions in a matrix form
O = orth(M)


def find_orth(O):
    rand_vec = np.random.rand(O.shape[0], 1)
    A = np.hstack((O, rand_vec))
    b = np.zeros(O.shape[1] + 1)
    b[-1] = 1
    return lstsq(A.T, b)[0]


res = find_orth(O)

if all(np.abs(np.dot(res, col)) < 10e-9 for col in O.T):
    print("Success")
else:
    print("Failure")

【讨论】：

非常感谢！ :) 但是，我不明白您为什么选择 b 并求解 x？我的意思是，在 w 将随机列添加到 O 之后，我们无法更改 O，但是我们想要属性 np.dot( O.T, O ) = I，对吧？
我想我可以更好地表达它。我们临时“添加”一个随机列。然后我们求解与所有原始列正交但不是随机列的x。特别是，x 不为零。所以 x 在你的术语中对应于 a_{d+1} 。 BTW np.dot(O.T, O) = I 意味着向量是正交的。正交向量会导致对角矩阵。