射线球相交推导

Question

我正在尝试编写一个函数，如果光线与球体相交并且我引用的代码如下所示，则返回 true：

// given Sphere and Ray as arguments
invert the Sphere matrix
make new Ray object 
  origin of this object = old Ray origin * inverted Sphere matrix
  direction = old Ray direction * inverted Sphere matrix
a = |new direction| ^ 2
b = dot product of new origin and new direction
c = |new origin| ^ 2 - 1

det = b*b - a*c
if det > 0 there is an intersection

我一直不明白为什么我们需要先反转 Sphere 矩阵，然后再将它与 Ray 的原点和方向相乘。我也很困惑如何推导出二次方程变量 a、b 和 c 以及结尾。我知道我必须将光线 (p + td) 和圆 (x dot x - 1 = 0) 的参数方程结合起来，但我不知道该怎么做。

Answer 1

您需要反转球体矩阵以使射线在球体的坐标系中，如果球体未缩放，则与简单地设置 new_origin = origin - sphere_center 相同（并使用原始方向） 方程由以下公式组成：

|new_dir*t + new_origin|^2 = r^2 (presumably r is 1)

如果你展开它，你会得到：

|new_dir|^2*t^2 + 2*(new_origin·new_dir)*t + |new_origin|^2-r^2 = 0