术语“monad”是否适用于 Maybe 或 List 等类型的值，还是仅适用于类型本身？

Question

我注意到“monad”这个词的使用方式似乎有些不一致。我开始相信这是因为那里的许多（如果不是大多数）monad 教程是由刚刚开始自己​​弄清楚 monad 的人编写的（例如：核废料太空服卷饼），所以这个学期结束了有点过载/损坏。

特别是，我想知道术语“monad”是否可以应用于诸如 Maybe、List 或 IO 等类型的单个值，或者术语“monad”是否真的应该仅应用于类型本身。

这是一个微妙的区别，所以也许一个类比可能会更清楚。在数学中，我们有环、场、群等。这些术语适用于整个值集以及可以对它们执行的操作，而不是单个元素。例如，整数（连同加法、否定和乘法运算）形成一个环。你可以说“整数是一个环”，但你永远不会说“5 是一个环”。

那么，你能说“Just 5 是一个单子”，还是说“5 是一个环”是错误的？我不知道范畴论，但我的印象是说“Maybe 是一个单子”而不是“Just 5 是一个单子”才有意义。

Answer 1

“Monad”（和“Functor”）通常被误用来描述值。 没有值是 monad、functor、monoid、applicative functor 等。 只有类型和类型构造函数（更高级的类型）可以。 当你听到（你会听到）“列表是幺半群”或“函数是单子”等，或者“这个函数需要一个单子作为参数”时，不要相信它。 问演讲者“考虑到 Haskells 类对 types（包括高阶类型）而不是值进行分类，任何值怎么可能是 monoid（或 monad 或 ...）？ 列表不是幺半群（等）。 List a 是。

我的猜测是，这种流行的误用源于具有值类而不是类型类的主流语言，因此习惯性的、无意识的值类思维潜入其中。

为什么我们是否准确地使用语言很重要？ 因为我们用语言思考，我们通过语言建立和传达理解。 所以为了有清晰的想法，有清晰的语言是有帮助的（或者能够随时）。

“我们语言的邋遢让我们更容易产生愚蠢的想法。关键是这个过程是可逆的。” - 乔治·奥威尔，《政治与英语》

编辑：这些评论适用于 Haskell，而不适用于更一般的范畴论设置。

Answer 2

List 是 monad，List a 是类型，[] 是 List a（类型的元素）。

从技术上讲，monad 是一个具有额外结构的 functor；在 Haskell 中，我们只使用从 Haskell 类型到自身的函子。

因此，它特别是一个“函数”，它接受一种类型并返回另一种类型（它有一种* -> *）。

List、State s、Maybe 等都是单子。 State 不是 monad，因为它有一种 * -> * -> *。

（顺便说一句：为了混淆问题，Monads 只是函子，如果我给自己一个偏序集 A，那么它就形成了一个类别，其中 Hom(a, b) = { 1 element } if a A 形成一个函子，单子是那些满足 x A”。另见closure operators。）

（除了 2：因为你似乎知道一些数学，我鼓励你阅读范畴论。你会看到代数结构可以被看作是由单子产生的。见 this excellent blog entry from the excellent blog by Dan Piponi预告片。）

Answer 3

确切地说，monad 是范畴论中的结构。他们没有直接对应的代码。为简单起见，让我们讨论通用函子而不是 monad。在 Haskell 的情况下，大致来说，函子是从一类类型到一类类型的映射，它也将第一类中的函数映射到第二类中的函数。 Functor 实例使您可以访问映射函数，但不直接捕获函子的概念。

但是公平地说，Functor 实例中提到的类型构造函数是实际的函子：

instance Functor Tree

在这种情况下，Tree 是函子。然而，因为Tree 是一个类型构造函数，它不能代表同时生成函子的两个映射函数。映射函数的函数称为fmap。因此，如果你想精确，你必须说元组(Tree, fmap) 是函子，其中fmap 是来自Tree 的Functor 实例的特定fmap。再次为方便起见，我们称Tree 是函子，因为对应的fmap 来自其Functor 实例。

请注意，函子总是* -> * 的类型。所以Maybe Int 不是函子——函子是Maybe。人们也经常谈论“国家单子”，这也是不准确的。 State 是一个包含无限多个状态单子的整个家族，正如您在实例中看到的那样：

instance Monad (State s)

对于每个类型s，类型构造函数State s（类型为* -> *）是一个状态单子，是众多单子之一。

Answer 4

那么，你能说“Just 5 is a monad”，还是说“5 is a ring”是错误的？

你的直觉是完全正确的。 Int 是Ring（或AbelianGroup 或其他），因为Maybe 是Monad（或Functor 或其他）。值（5、Just 5 等）并不重要。

在代数中，我们说整数的集合形成一个环；在 Haskell 中，我们会（非正式地）说 Int 是 Ring 类型类的成员，或者（稍微更正式地）存在 Ring 的 Int 实例。您可能会发现 this proposal 有趣和/或有用。无论如何，对单子也是如此。

我不懂范畴论，但是...

不管怎样，如果你对抽象代数有所了解，那你就是个天才。

Answer 5

我会说“只有 5 是 Monad 实例的类型”，就像我会说“5 是具有类型 (Integer) 是环的数字”。

我使用术语实例是因为在 Haskell 中你是如何声明一个类型类的实现的，而 Monad 就是其中之一。