伽罗瓦域中不正确的乘法/除法 (2^8)

Question

我正在尝试使用对数和指数表在 GF(2^8) 中实现乘法和除法。我使用 3 的指数作为生成器，使用来自 here 的指令。

但是我在一些琐碎的测试用例中失败了。

示例：

//passes  
assert((GF256elm(4) / GF256elm(1)) == GF256elm(4));  
assert((GF256elm(32) / GF256elm(16)) == GF256elm(2));  
assert((GF256elm(15) / GF256elm(5)) == GF256elm(3));  
assert((GF256elm(88) / GF256elm(8)) == GF256elm(11));  
//fails, but should pass
assert((GF256elm(77) / GF256elm(11)) == GF256elm(7));
assert((GF256elm(77) / GF256elm(7)) == GF256elm(11));  

前四行通过，但在第 5 行和第 6 行均失败。
经过进一步调查，我发现这些错误发生在“换行”时，即log3(a) + log3(b) > 255（乘法大小写）或log3(a) - log3(b) < 0。然而，该值是“修改”的，因此它们使用真实模数保持在 0~255 之间。

GF256elm& GF256elm::operator/=(const GF256elm& other) { //C++ operator override for division
    int t = _logTable[val] - _logTable[other.val]; //log3(a) - log3(b)
    int temp =  ((t % 255) + 255) % 255; //this wraps the value to between 0~254 inclusive.
    val = _expTable[temp];
    return *this;
}

/ 运算符是使用上面的 /= 覆盖实现的，因此没有什么特别的发生。

我已检查生成的日志/exp 表是否正确。

我在这里缺少什么？谢谢！

Answer 1

首先，请仔细阅读这个问题及其所有答案和 cmets：

Addition and multiplication in a Galois Field

我认为你的代码还可以，但是你有两个问题。

首先，cmets 是错误的；您将指数保持在 0-254 范围内，而不是 0-255。

其次，你的“琐碎”测试用例是错误的。

在这个领域，将数字视为多项式，其系数从数字的二进制表示中获得。例如，由于 5 = 2^2 + 1，因此在该字段中，“5”表示 x^2 + 1。

所以 "5" * "3" = (x^2 + 1) * (x + 1) = x^3 + x^2 + x + 1，或 "15"。这就是您的测试用例 assert((GF256elm(15) / GF256elm(5)) == GF256elm(3)); 有效的原因。这与你通常认为的五乘三等于十五无关。同样，对于您的其他工作测试用例，您会注意到它们大多涉及 2 的幂。

但是，“7” * “11” = (x^2 + x + 1) * (x^3 + x + 1) = x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 +2x + 1

但是系数都是模 2，所以这实际上是 x^5 + x^4 + 1 = "49"。这就是你最后两个测试用例失败的原因。

如果您尝试assert(GF256elm(49) / GF256elm(7) == GF256elm(11));，您应该会发现它已结帐。

Answer 2

x % n 计算结果为介于 0 和 (n - 1) 之间的整数。

这意味着x % 255 的计算结果为 0 到 254 之间的整数，而不是 0 到 255。

您应该将 255 替换为 256，或者与0xff 执行按位与运算以获得相同的结果。后者更快，尽管编译器很可能足够聪明，可以将它们优化为相同的字节码。

Answer 3

代码没有问题。有限域乘法/除法不同于普通算术。请参考cryptostackxchange中的this question。