如何在 O(n) 时间内选择最少的权重来获得总权重

Question

如果有n 未排序的权重，我需要找到最少的权重才能获得至少W 的权重。 如何在O(n) 中找到它们？

Answer 1

这个问题有很多解决方法：

方法 1 - 排序 - O(nlogn)
我想最简单的方法是按降序排序，然后取出总和至少为 W 的前 K 个元素。时间复杂度将是 O(nlogn)。

方法 2 - 最大堆 - O(n + klogn)
另一种方法是使用最大堆。 创建堆将占用O(n)，然后提取元素，直到总和至少为W。每次提取将占用O(logn)，因此总时间复杂度为O(klogn)，其中k是元素的数量我们必须从堆中提取。

方法 3 - 使用最小堆 - O(nlogk)
添加JimMischel 在下面的 cmets 中建议的此方法。
使用列表中的第一个 k 元素创建一个最小堆，总和至少为 W。然后，遍历剩余的元素，如果它大于它们之间的最小值（堆顶），则替换它们。
在这一点上，可能是我们实际上需要更多的元素才能到达W，所以我们将只提取最小值，直到达到我们的极限。在实践中，取决于

find_min_set(A,W)
    currentW = 0
    heap H //Create empty heap

    for each Elem in A
        if (currentW < W)
            H.add(Elem)
            currentW += Elem
        else if (Elem > H.top())
            currentW += (Elem-H.top())
            H.pop()
            H.add(Elem)

    while (currentW-H.top() > W)
        currentW -= H.top()
        H.pop()

根据k 和n 之间的关系，这种方法在实践中可能会更快。见when theory meets practice。

方法 4 - O(n)
我能想到的最佳方法是使用某种quickselect，同时跟踪总权重并始终以中位数为轴进行分区。

首先，让我们定义几件事：

sum(A) - 数组A中所有元素的总和。
num(A) - 数组A中的元素个数。
med(A) - 数组@987654342的中位数@。

find_min_set(A,W,T)
    //partition A
    //L contains all the elements of A that are less than med(A)
    //R contains all the elements of A that are greater or equal to med(A)
    L, R = partition(A,med(A))
    if (sum(R)==W)
        return T+num(R)
    if (sum(R) > W)
        return find_min_set(R,W,T)
    if (sum(R) < W)
        return find_min_set(L,W-sum(R),num(R)+T)

由find_min_set(A,W,0)调用此方法。

运行时复杂度：

• 查找中位数为O(n)。
• 分区是O(n)。
• 每个递归调用都占用数组大小​​的一半。
• 总结起来，我们得到一个跟随关系：T(n) = T(n/2) + O(n)，这与 quickselect = O(n) 的平均情况相同。

注意：当所有值都是唯一的时，最坏情况和平均复杂度确实是O(n)。对于可能的重复值，平均复杂度仍然是O(n)，但最坏的情况是O(nlogn)，使用Median of medians 方法选择枢轴。