为什么此代码适用于此 TopCoder 问题？答案

【问题标题】：Why does this code work for this TopCoder prob?为什么此代码适用于此 TopCoder 问题？
【发布时间】：2012-05-08 12:05:12
【问题描述】：

我从 HOURS 开始就一直在思考这个 TopCoder 问题，但无法找到完美的解决方案，但发现下面给出的解决方案非常漂亮！

我试图弄清楚这个解决方案如何适用于给定的探针？而我当初怎么会想到呢？在阅读了解决方案后，我认为它是霍夫曼编码的一种变体，但这是我所能得到的。我真的很着迷，想知道什么样的思路可以导致这个解决方案..

问题来了： http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=11860&rd=15091

Fox Ciel 有很多功课要做。作业包括一些相互独立的任务。不同的任务可能需要不同的金额的时间来完成。您将获得一个 int[] workCost。对于每个 i，第 i 个任务需要 workCost[i] 秒才能完成。她愿意参加一个聚会并见她的朋友，因此她想完成所有尽快完成任务。

主要问题是所有的狐狸，包括夏尔，真的很讨厌做在家工作。每只狐狸只愿意做其中一项任务。幸运的是，哆啦A梦，22世纪的机器猫，与Fox Ciel分道扬镳锤子：可以将任何一只狐狸一分为二的魔法道具。

给你一个 int splitCost。在狐狸身上使用劈锤是瞬间。一旦锤子用在狐狸身上，狐狸就会开始分裂。 splitCost 秒后她会变成两只狐狸—— 原来的狐狸和另一只全新的狐狸。当狐狸分裂时，不允许再对她使用锤子。

一项任务的工作不能被打断：一旦狐狸开始工作一项任务，她必须完成。不允许多只狐狸合作完成同一任务。狐狸不能在她做任务的时候工作用锤子劈开。可以分裂同一个狐狸多次。之前和之后都可以分裂狐狸她解决了其中一项任务。

计算并返回狐狸可以用的最短时间解决所有任务。

这是我在link找到的解决方案

import java.util.*; 

public class FoxAndDoraemon { 
  public int minTime(int[] workCost, int splitCost) { 
    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>(); 

    for(int i : workCost) pq.offer(i); 

    while(pq.size()>=2) { 
      int i = pq.poll(); 
      int j = pq.poll(); 
      pq.offer(Math.max(i, j) + splitCost); 
    } 
    return pq.poll(); 

  } 
}

【问题讨论】：

轮询时优先级队列是返回最大元素还是最小元素？
最少。优先级队列从最小到最大元素排序，并在插入时保留它们的排序。
这个答案似乎不正确。考虑minTime(new int[] {1, 1, 1}, 5)。显然正确的做法是不并行化任何任务，这样就需要 3s。这个解决方案会给 11 秒！
@RussellZahniser 每只狐狸只会做一项工作。您不能让它连续执行 3 个作业。 `每只狐狸只愿意做其中一项任务'

标签： java algorithm huffman-code

【解决方案1】：

首先，您确实了解“max(i, j) + splitCost”背后的原因。不是吗？基本上，如果您有一只狐狸，您可以将其分成两部分并独立执行每项任务。让我们称这个过程为“合并”。

现在假设我们有三个工作 a、b 和 c，使得 a>b>c。您可以执行合并（合并（a，b），c）或合并（合并（a，c），b）或合并（合并（b，c），a）。算一算，你可以证明 merge(merge(b,c),a) 在这三者中最少。

您现在可以使用归纳法来证明此解决方案适用于任意数量的工作（不仅仅是 3 个）。

【讨论】：

【解决方案2】：

它正在从头开始建造一棵树。

该算法使用一个基本事实来工作：如果删除两个最小元素，计算最小元素的成本始终小于下一个最小元素的成本加上拆分。（请参阅 ElKamina 的帖子以获得更全面的证明）。

因此，如果您的树中只有两个元素（例如 4 和 2）并且您的拆分成本为 4，那么最短的时间量始终为 8（下一个最小的元素加上拆分成本。

所以，构建我们的树：假设我们得到了 workCost [1,3,4,5,7,8,9,10]，我们的 splitCost 是 3。

所以，我们来看两个最小的元素：1,3。计算这些的“成本”至少为 6（最大数字加上拆分成本。然后将 6 重新插入队列中，您实际上是在添加子树：

  6
1   3

“高度”/“成本”总共为 6。通过重复此过程，您将使用尽可能小的子元素构建一棵树（现有的子树或未完成的新作业）。

解决方案最终将如下所示：（其中 S(X) 是拆分成本加上解决它下面的所有问题）

                  S(17)
            S(13)       S(14)
       S(10)     9   10      S(11)
  S(6)      7            S(8)     8
1     3                 4    5

如果你向后追溯这棵树，很容易看出公式是如何解决它的：1 和 3 的成本是 S(6)，4 和 5 是 S(8)，那么 S(6) 和 7 是S(10), 8 和 S(8) 是 S(11) 等等。

【讨论】：