3D相机坐标到世界坐标（改变基础？）答案

【问题标题】：3D Camera coordinates to world coordinates (change of basis?)3D相机坐标到世界坐标（改变基础？）
【发布时间】：2013-06-17 02:52:50
【问题描述】：

假设我有一个对象相对于相机的坐标 X、Y、Z 和方向 Rx、Ry、Rz。另外，我还有这个相机在世界上的坐标U、V、W和方向Ru、Rv、Rw。

如何将对象的位置（位置和旋转）转换为其在世界中的位置？

对我来说这听起来像是基础的改变，但我还没有找到明确的来源。

【问题讨论】：

标签： opencv geometry computer-vision linear-algebra projective-geometry

【解决方案1】：

其实你有两个依据：一个是相对于相机的，另一个是绝对的（世界）。所以你基本上想把你的相对数据转换成绝对数据。

位置

这是最简单的。您必须通过向量 t(U,V,W) 平移 (X,Y,Z) 位置。所以你所有的绝对位置都是 (Ax, Ay, Az) = (X,Y,Z)+t = (X+U,Y+V,Z+W)。

方向

这有点困难。您必须找到将相机从（我假设）（0,0,1）旋转到（Ru，Rv，Rw）的旋转矩阵。您应该查看Basic Rotation Matrices，以便将 (0,0,1) 到 (Ru,Rv,Rw) 的 2 个旋转分解（例如，一个根据 X 轴，一个根据 Z 轴）。我建议你在一张纸上画出绝对基和向量(Ru,Rv,Rw)，这是获得正确结果的最简单方法。

所以你有 2 个基本的旋转矩阵 r1 和 r2。得到的旋转矩阵 r = r1*r2（或 r2*r1，没关系）。所以你的对象的绝对方向是 (ARx, ARy, ARz) = r*(Rx,Ry,Rz)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

我发现这个主题非常清楚的文档。 http://www.cse.psu.edu/~rcollins/CSE486/lecture12.pdf

除其他外，它处理反向操作，即从世界到相机的 3D 坐标。

PC = R ( Pw - C ) 其中，Pc 是相机世界中的一个点，Pw 是普通世界中的一个点，R 是旋转矩阵，C 是相机平移。

可惜添加latex公式比较麻烦，所以我将给出一些matlab代码。

function lecture12_collins()
% for plotting simplicity I choose my points on plane z=0 in this example
% Point in the world
Pw = [2 2.5 0 1]';
% rotation
th = pi/3;
% translation
c = [1 2.5 0]';
% obtain world to camera coordinate matrix
T = GetT(th, c);
% calculate the camera coordinate
Pc = T*Pw
% get the camera to world coordinate
T_ = GetT_(th, c)
% Alternatively you could use the inverse matrix
% T_ = inv(R*C)

% calculate the worldcoordinate
Pw_ = T_*Pc

assert (all(eq(Pw_ ,Pw)))


function T = GetT(th, c)
% I have assumed rotation around the z axis only here.
R = [cos(th) -sin(th) 0 0
     sin(th)  cos(th) 0 0
          0        0  1 0
          0        0  0 1];
C = [1  0   0   -c(1)
     0  1   0   -c(2)
     0  0   1   -c(3)
     0  0   0   1];
 T = R*C;

function T_ = GetT_(th, c)
% negate the angle
R_ = [cos(-th) -sin(-th) 0 0
     sin(-th)  cos(-th) 0 0
          0        0  1 0
          0        0  0 1];
% negate the translation
C_ = [1  0   0   c(1)
     0  1   0   c(2)
     0  0   1   c(3)
     0  0   0   1];
T_ = C_*R_

到目前为止，这只是关于位置。我通过使用我对旋转的额外知识解决了旋转。我知道我的相机垂直于物体，并且它的旋转仅围绕 z 轴。我可以添加相机和物体的旋转。

【讨论】：